Tips vid faktorisering av 3-gradsekvationer

Det finns något som du kommer lära dig i matte 4 som heter polynomdivision som brukar vara enklare att använda en syntetisk division (personligt). Men ett bra tips till uppgifter som denna är att gissa fram en lösning till ekvationen genom att testa $\pm 1$ exempelvis (då funktionen blir 0), och sedan antagligen använda syntetisk division eller polynomdivision för att få en andragradare som  kan faktoriseras med pq-formeln. 

Jaha ok... Kan du hjälpa mig hur jag kan lösa denna uppgift?

Sure, jag testar först om funktionen är 0 då x=1 vilket den var vilket ger oss att (x-1) är en faktor till funktionen.

Nu ska jag då dela (x³-6x²+11x-6)/(x-1) vilket blir:

Högst upp kör jag polynomdivision för att få andragradsekvationen som jag sedan löser med pq formeln för att faktorisera hela uttrycket. I denna uppgift skulle man kunna ha faktoriserat hela uttrycket genom att gissa lösningar, men det brukar inte fungera jätte bra på svårare uppgifter så det kan vara bra om du lär dig polynomdivision.

Här är en bra video till det https://www.youtube.com/watch?v=DIqvqoLw7lw&pp=ygUPcG9seW5vbWRpdmlzaW9u.

Polynomdivision må se lite konstigt och svårt ut i början men testa att göra det några gånger så kommer du klara det galant. 

Ok, tack snälla för hjälpen!

När alla koefficienter är heltal, som här, kan man leta efter heltalslösningar bland de tal som delar konstanttermen.

Här är konstanttermen -6, så prova 6, 3, 2 och 1 samt -6, -3, -2 och-1.

Om flera värden fungerar att stoppa in istället för x, ska man alltid börja med den lägsta (1 )och sedan stanna där? Om den inte fungerar så testar man de andra?

Det är bara att chansa...

De åtta värden jag räknade upp skulle kunna vara lösningar, men de kan också vara fel, allihop. 

Jaha, ok... det finns inga genvägar alltså med tips att hitta uttrycket som man ska dividera med?

Inte på gymnasienivå.

Det är möjligt att lösa tredjegradsekvationer med de formler som del Ferro och Cardano tog fram, men "ingen" gör det nuförtiden. 

Jaha ok. Tack för hjälpen!

Hej! Ok, så man kan göra så! Tack, för tips! Det svåra är dock att komma fram till vad som ska stå i parenteserna...

Inte så svårt om du tittar på $x^2-6x$och vill sätta ihop t.ex. $(x+a)(x+a)$så får du $x^2+2a+a^2$.

För att få de två termerna $x^2-6x$så kan du ju ersätta a med 3, men eftersom du vill få -6 så får du sätta minus framför och får då (x-3)(x-3). Se min bild ovan.

Ok! Tack så mycket!

Här är ett par generella tips som fungerar för alla polynom med reella koefficienter, inte bara tredjegradspolynom.

• Om polynomet saknar konstantterm så är x = 0 ett nollställe. Exempel: x⁴+3x²-7x
• Om summan av koefficienterna är lika med 0 så är x = 1 ett nollställe. Exempel: 2x³-4x²+3x-1
• Om summan av koefficienter framför jämna potenser är lika med summan av koefficienterna framför udda potenser så är x = -1 ett nollställe. Exempel: x⁴-3x³-5x²+2x+3

Bra övning: Fundera på varför detta gäller.

Om man börjar med ovanstående och utför polynomdivision* om möjligt så kan man sedan fortsätta med att pröva x = $\pm$2, x = $\pm$3 o.s.v, men det blir snabbt svårt att pröva om polynomets gradtal (dvs högsta potensen) är högt.

Det finns en sats om rationella rötter som kan begränsa antalet möjliga nollställen, men den borde inte behöva användas på gymnasienivå.

======

*polynomdivision

Man behöver inte kunna polynomdivision.

Det går att gå en omväg istället:

Säg att vi vet att x = 1 är ett nollställe till 2x³-4x²+3x-1.

Vi vet då att det finns konstanter a, b och c som är sådana att

(x-1)(ax²+bx+c) = 2x³3-4x²+3x-1

Multiplicera nu ihop parenteserna i VL och jämför med HL så kan du bestämma a, b och c.

Oj, nu kom det spännande grejer :-) Måste se om jag hänger med här! Jag köper de 2 första punkterna på tips, men i denna:

• Om summan av koefficienter framför jämna potenser är lika med summan av koefficienterna framför udda potenser så är x = -1 ett nollställe. Exempel: x⁴-3x³-5x²+2x+3

Du menar att de jämna potenserna är x⁴ och 5x²? Men om det ska vara summan av "koefficienter framför jämna potenser" blir det x⁴ och -5x², alltså 1 - 5 och då -4 eller hur blir det då? Och den udda potensen är då -3x³? De blir ju inte lika mycket?!

Nästa fråga är om (x-1)(ax²+bx+c) = 2x³3-4x²+3x-1

Om jag testar tipsen ovan och får ut att x=1, blir det alltid då (x-1) i ena parentesen? Kan man alltid då utgå ifrån att nästa parentes ser ut så? Sedan får jag komma fram till vad a och b är? C är ju den ensamma koefficienten?

KatrinC skrev:

Oj, nu kom det spännande grejer :-) Måste se om jag hänger med här! Jag köper de 2 första punkterna på tips, men i denna:

• Om summan av koefficienter framför jämna potenser är lika med summan av koefficienterna framför udda potenser så är x = -1 ett nollställe. Exempel: x⁴-3x³-5x²+2x+3

Du menar att de jämna potenserna är x⁴ och 5x²? Men om det ska vara summan av "koefficienter framför jämna potenser" blir det x⁴ och -5x², alltså 1 - 5 och då -4 eller hur blir det då? Och den udda potensen är då -3x³? De blir ju inte lika mycket?!

Konstanttermen 3 räknas som en koefficient framför en jämn potens, eftersom du kan skriva den som $3\cdot x^0$.

Då blir de två summorna 1-5+3 = -1 och -3+2 = -1.

Nästa fråga är om (x-1)(ax²+bx+c) = 2x³3-4x²+3x-1

Om jag testar tipsen ovan och får ut att x=1, blir det alltid då (x-1) i ena parentesen? Kan man alltid då utgå ifrån att nästa parentes ser ut så? Sedan får jag komma fram till vad a och b är? C är ju den ensamma koefficienten?

Ja, om x = 1 är ett nollställe till polynomet så är (x-1) en faktor i polynomet.

Detta gäller generellt:

Om x₁ är ett nollställe till polynomet P(x) så kan P(x) faktoriseras enligt P(x) = (x-x₁)*Q(x), dör gradtalet för Q(x) är lika med gradtalet för P(x) minus 1.

====

Jag tänker så här:

VL: (x-1)(ax²+bx+c) = ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c

Detta ska vara lika med 2x³-4x²+3x-1 för alla värden på x.

Då måste koefficienterna för respektive potens vara lika, vilket ger ekvationssystemet

• a = 2
• b-a = -4
• c-b = 3
• c = 1

Med lösningen

• a = 2
• b = -2
• c = 1

Det betyder att ursprungspolynomet kan faktoriseras till (x-1)(2x²-2x+1)

Jaha ok. Tack!

Vsg.

Men förstår du varför de tre genvägarna fungerar?

Jag tror det. Det verkar dock krångligt, så jag behöver sätta mig in i metoden...

Det är klurigt men egentligen inte så krångligt.

• Om x = 0 så blir alla xⁿ lika med 0, vilket betyder att alla polynomets termer utom konstanttermen blir lika med 0. Om polynomet då saknar konstantterm så blir polynomets värde lika med 0.
• Om x = 1 så blir alla xⁿ lika med 1, vilket betyder att alla polynomets termer är lika med dess koefficienter. Om koefficienternas summa då är lika med 0 så blir polynomets vörde lika med 0.
• Om x = -1 så blir alla xⁿ lika med 1 om n är jämnt och -1 om n är udda. vilket betyder att alla termer med jämn koefficient får samma värde som respektive koefficient och att alla termer med udda koefficient får samma värde som respektive koefficient med ombytt tecken.  

Ok, jag måste notera detta och testa på olika 3:e gradare så att jag "kommer in i det". Tack för hjälpen!

Helt suveränt Yngve!

Vilken snygg lösning vi fick till slut och vimärbästs lösning kanske trots allt är den som man kommer att tänka på först när inte polynomdivision känns främmande.

Mitt försök att hålla mig till matte 3 var nog inte lämpligt i detta fall, men kanske kunde ge något ändå.

Tack allihop för en trevlig mattestund!