Tolkning av ortogonal projektion på underrum

Halloj!

Jag sitter med en uppgift nu dagen innan tentamen och befattar mig kort med ortogonala projektioner på underrum, eftersom jag misstänker att sådana frågor kan komma. Nedan klistrar jag in uppgiften jag studerar nu:

Jag har huvudsakligen en fråga om hur man ska tolka "ortogonalprojektionen av $f\left(x\right) = x^2$ på $U=\mathrm{Span}\{1,x\}$ ".

Jag tolkar det som den funktion $g$ , som definieras av $g\left(x\right)=a+bx$ , som uppfyller:

$\displaystyle \left(\min_{p} \left|\left|f\left(x\right)-p\left(x\right)\right|\right|\right)^2=\left|\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\right|^2=\int_{0}^{1}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)^2\mathrm{d}x$

Det vill säga, löst uttryckt i ord, den funktion $g$ , som endast får skrivas i basen $\{1,x\}$ , som är "närmast" funktionen $f$ i den givna skalärproduktens bemärkelse. Är det en korrekt tolkning?

Ortogonalprojektionen har minimeringsegenskapen som du angett, men detta är inte definitionen utan snarare en följd av att projektionen är ortogonal.

Vektorn $g \in U$ är ortogonalprojektionen av $f \in V$ på underrummet $U \subseteq V$ om residualvektorn $r = f-g$ är vinkelrät mot $U$ .

I denna konkreta uppgift innebär det att man söker $g(x) = a + bx$ sådant att $r(x) = x^2 - (a + bx)$ är vinkelrät mot $p_0(x) = 1$ och mot $p_1(x) = x$ , d.v.s. följande två villkor ska vara uppfyllda:

$\langle r, p_0 \rangle = 0$ , d.v.s. $\displaystyle \int_0^1 \left(x^2 - a -bx\right) \cdot 1 \,dx = 0$
$\langle r, p_1 \rangle = 0$ , d.v.s. $\displaystyle \int_0^1 \left(x^2 - a -bx\right) \cdot x \,dx = 0$

På så sätt får man ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler.

Alternativ lösning: Hitta en ON-bas för $U$ m.h.a. Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess. Använd sedan projektionsformeln för att projicera $f$ på de ortonormerade basvektorerna i $U$

Okej, tack så mycket!

Jag testade att räkna med minimering som jag beskrev ovan och det blev visserligen rätt, men det var ganska ineffektivt. Jag var tvungen att söka minima till ett flervariabelt uttryck istället för att, som du har ställt upp här, helt enkelt lösa ett enkelt ekvationssystem.

Men då vet jag! :D

Svara