Tömma poolen med volymintegral

Uppg: Hur stort arbete behövs för att tömma poolen?

Från mittlinjen till kantlinjen på ytan är radien = 3m

Poolens tvärsnitt följer formen av en parabel med ekvationen y = 0,2x^2

W = mgh

Mitt försök:

y (3) = 0,2 * 3^2 = 1,8

Då man inte kan tömma hela poolen på engång, kan man göra dela upp vattnet i oändligt tunna skivor för att "låtsaslyfta" det paketet.

Eftersom x = bredden och y = höjden är x också radien, alltså är x en funktion av y: y = 0,2 $x^{2}$ => x = $\sqrt{5 y} (0, 2 = \frac{1}{5})$

När y $\to 0$ är det egentligen arean man vill få ut av skivorna, eftersom dV/dy = arean = $r^{2} π$ .

a = ${(\sqrt{5 y})}^{2} * π = 5 yπ$

Vet inte hur man ska gå tillväga sen.

Arbete = kraft*väg.

Kraft = tyngd. Räkna med att vatten vägen 1kg per kubikdecimeter.

$y = 0, 2 x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{5 y} 0 \leq x \leq 3 \Rightarrow 0 \leq y \leq 1, 8$

Arbetet kan man få fram som en integral.

$A = \int_{0}^{1, 8} m a s s a \cdot g \cdot v ä g \cdot d y$

W = mgh = p * V * g * h

p = 997

V = $\int_{0}^{1, 8} 5 πy * dx$

g = 9,82

h kan inte integreras för dy och skrivs därför om till h = 1,8 - y eftersom att den ständigt minskas i intervallet $0 \leq y \leq 1, 8$ .

W = pVgh = 997 * ∫5πy * dx * 9,82 * (1,8 - y) = 150kJ

Tack för hjälpen!

Hej!

Har lite svårt att förstå var h=(1,8-y) försvinner. Integreras den också eller är det endast ∫5πy * dx som integreras?

Svara Avbryt