topphastigheten

852sol skrev:

I en fråga ska man bestämma topphastigheten för en bil vars hastighet kan beskrivas (t är tiden): 55(1-0,9^t) 

Jag tänkte då derivera och ta reda på när derivatan är noll men det går inte att lösa funktionen jag får efter deriveringen:

0= -55 x ln0,9 x e^(t x ln0,9)

Jag tänkte även jämföra med ändpunkterna för att se om de innehavar topphastigheten men jag kan ju inte göra det utan defintionsmängden (eller jag kan beräkna den ena ändpunkten då t=0) hur ska ja då kunna jämföra?

Avslutningsvis vet jag nu att man ska tänka att när t--> oändligheten kommer hastigheten gå mot 55, men jag förstår inte hur man ska veta att det är så man ska tänka?

Tack på förhand

Det stämmer att den ena ändpunkten är t = 0.

Din derivata är inte helt korrekt.

Derivatan av $0,9^t$ är $0,9^t\cdot ln(0,9)$. Exponenten ändras inte.

-------

Du kan se på derivatafunktionen att dess värde alltid är större än 0. Det betyder att funktionen i sig (dvs hastigheten) är ständigt växande.

Då t = 0 så är hastigheten v(0) = 55(1-0,9^0) = 0.

Sedan ökar hastigheten och den kommer att närma sig 55 mer och mer, men den kommer aldrig att nå värdet 55.

Jag tycker att frågan är olyckligt formulerad.

Det finns en övre gräns för hastigheten, men jag skulle inte kalla den gränsen för topphastigheten eftersom den aldrig kommer att uppnås. 

Yngve skrev:

852sol skrev:

I en fråga ska man bestämma topphastigheten för en bil vars hastighet kan beskrivas (t är tiden): 55(1-0,9^t) 

Jag tänkte då derivera och ta reda på när derivatan är noll men det går inte att lösa funktionen jag får efter deriveringen:

0= -55 x ln0,9 x e^(t x ln0,9)

Jag tänkte även jämföra med ändpunkterna för att se om de innehavar topphastigheten men jag kan ju inte göra det utan defintionsmängden (eller jag kan beräkna den ena ändpunkten då t=0) hur ska ja då kunna jämföra?

Avslutningsvis vet jag nu att man ska tänka att när t--> oändligheten kommer hastigheten gå mot 55, men jag förstår inte hur man ska veta att det är så man ska tänka?

Tack på förhand

Det stämmer att den ena ändpunkten är t = 0.

Din derivata är inte helt korrekt.

Derivatan av $0,9^t$ är $0,9^t\cdot ln(0,9)$. Exponenten ändras inte.

-------

Du kan se på derivatafunktionen att dess värde alltid är större än 0. Det betyder att funktionen i sig (dvs hastigheten) är ständigt växande.

Då t = 0 så är hastigheten v(0) = 55(1-0,9^0) = 0.

Sedan ökar hastigheten och den kommer att närma sig 55 mer och mer, men den kommer aldrig att nå värdet 55.

Jag tycker att frågan är olyckligt formulerad.

Det finns en övre gräns för hastigheten, men jag skulle inte kalla den gränsen för topphastigheten eftersom den aldrig kommer att uppnås. 

Men är det så att exponentialfunktioner aldrig kommer kunna deriveras?

Tack på förhand

Men är det så att exponentialfunktioner aldrig kommer kunna deriveras?

Vad menar du med det? Yngve har ju deriverat funktionen.

852sol skrev:

Men är det så att exponentialfunktioner aldrig kommer kunna deriveras?

Tack på förhand

Jodå det går bra att derivera exponentialfunktioner.

Exempel: Derivatan av $a^x$ (där $a>0$) är $a^x\cdot ln(a)$.

Men det var kanske inte det du egentligen undrade över?

Eller alltså en exponentialfunktions derivata kan inte lösas för f'(x)=0?

Tack på förhand

852sol skrev:

Eller alltså en exponentialfunktions derivata kan inte lösas för f'(x)=0?

Tack på förhand

Det stämmer. En exponentialfunktion kan inte ha derivatan 0, för då vore det inte en exponentialfunktion. Den enda möjligheten att f(x)=Ce^kt har derivatan  f'(x)=kCe^kx=0 är att k = 0, och då kan man förenkla funktionen till f(x)=C, och det är ju ingen exponentialfunktion.

852sol skrev:

Eller alltså en exponentialfunktions derivata kan inte lösas för f'(x)=0?

Tack på förhand

Det stämmer.

$f(x)=a^x$ är en exponentialfunktion om $a>0$ och $a\neq1$.

Vi har då att $f'(x)=a^x\cdot ln(a)$.

Eftersom $a\neq1$ och $a^x$ alltid är större än 0 så gäller att $f'(x)\neq0$ för alla värden på $x$.

Eftersom $a^x$ alltid är större än 0 så bestäms derivatans tecken helt av värdet på $a$.

Om nu

• $a>1$ så är $f'(x)$ alltid större än 0. Det betyder att $f(x)$ är ständigt växande.
• $0<a<1$ så är $f'(x)$ alltid mindre än 0. Det betyder att $f(x)$ är ständigt avtagande.

Exempel ($f(x)=2^x$ och $f(x)=0,5^x$):

Okej, men i uppgiften som jag skrev om tidigare är ju utgångsfunktionen inte en exponentialfunktion men derivatans funktion är det. Hur ska man då veta hur man ska göra sedan för att hitta maxvärdet. Och måste man alltid göra på ett annat sätt än med f'(x) då den deriverade funktionen blir en exponentialfunktion då?

Tack på förhand

$0.9^t$ är en strängt avtagande funktion vilket innebär att $1-0.9^t$ är en strängt växande funktion. 

Derivatan är aldrig noll utan alltid positiv. Bilen har ingen topphastighet då gränsvärdet är 55 såvida inte definitionsintervallet är ändligt.