12 svar
240 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen
dajamanté 5269
Postad: 4 jan 2019 13:43

Transponering

Jag har uppenbarligen en problem med transponering.

Avbildningmatrisen ges av:

1xe12ye22ze3=-2y + 2z2x-z-2x+yu,v,w =0-22,20-1,-210

Man avbildar basvektorer av B med L och får:

 L0-2220-1-210=000-25-4-1809

Så man kan skriva om avbildningarna som:

0u+0v+0w0u+0v+1w0u-9v+0w

Varför måste jag nu transponera resultat? Alltså varför är matrisen 00000-9010 och inte 0000010-90? Jag trodde att det var samma sak som att skriva: 0000010-90uvw?

additionell fråga: så eftersom avbildningen är en kryssprodukt mot (1, 2, 2)^T, blir bilden av (1, 2, 2) vinkelrätt...? Eller något sånt?

AlvinB 3987
Postad: 4 jan 2019 18:30 Redigerad: 4 jan 2019 20:51

EDIT: Hoppsan, jag tänkte lite snabbt till en början.

Felet du gör är när du skall konstruera en matris med vektorn:

2z-2y2x-zy-2x\begin{bmatrix}2z-2y\\2x-z\\y-2x\end{bmatrix}

Pröva multiplicera ut din matris med xyzT\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}^Tså ser du att det blir fel tecken på alltihop. Du borde få:

0-2220-1-210\begin{bmatrix}0&-2&2\\2&0&-1\\-2&1&0\end{bmatrix}

Vilket ger det eftersökta svaret.

Albiki 5320
Postad: 4 jan 2019 20:36 Redigerad: 4 jan 2019 20:40

Standardmatrisen (AA) för LL är samma sak som den matris som representerar LL när man använder standardbasen {e1,e2,e3}\{e_1,e_2,e_3\} till 3\mathbb{R}^{3}. Det betyder att AA är en matris av typ 3×33\times 3 vars kolonner är vektorerna L(ei)L(e_i), vilket här är vektorerna v×eiv\times e_i.

    v×e1=(0,2,-2)T och v×e2=(-2,0,1)T och v×e3=(2,-1,0)Tv\times e_1=(0,2,-2)^{T}\text{ och }v\times e_2=(-2,0,1)^{T}\text{ och }v\times e_3=(2,-1,0)^{T}

Det ger standardmatrisen

    A=0-2220-1-210.A=\begin{pmatrix}0&-2&2\\2&0&-1\\-2&1&0\end{pmatrix}.

dajamanté 5269
Postad: 5 jan 2019 05:53

Såklart slarvade jag när jag skrev på forumet, men jag lyckades inte glömma min minus tecken framför andra linjen på pappret. Jag får som ni poängterar (0,2,−2)^T , (−2,0,1)^T och (2,−1,0)^T.

Men det är inte det jag frågar, utan den sista. Varför måste jag skriva resultaten (den linjära kombination av basvektorer alltså) som kolonvektorer istället för som en ekvationssystem (med hänsyn på hur matrismultiplikation fungerar, visst borde det vara ekvationssystem?)

AlvinB 3987
Postad: 5 jan 2019 09:10 Redigerad: 5 jan 2019 09:12

Jaha, du undrar alltså varför de avbildade basvektorerna 000BT\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}^T, 001BT\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}^T och 0-90BT\begin{bmatrix}0&-9&0\end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}^T läggs som kolonner och inte rader i matrisen.

Det enkla svaret är att man alltid gör så. När man ska beskriva en linjär transformation med en matris ser man var basvektorerna hamnar och lägger dem som kolonner.

Man gör faktiskt samma sak med ekvationssystemen. Det är bara att där är en avbildad vektor alla termer som innehåller en viss variabel. De läggs i kolonnerna. Exempelvis kan:

{x-2y+5z=25x+y-2z=13x-4y+z=0\{\begin{matrix}x-2y+5z=2\\5x+y-2z=1\\3x-4y+z=0\end{matrix}

skrivas som

1-2551-23-41xyz=210\begin{bmatrix}1&-2&5\\5&1&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}

Notera att här hamnade alla x-termer i kolonnen till vänster, alla y-termer i mittenkolonnen och alla z-termer i högerkolonnen. Alltså lägger man vektorerna som kolonner även här.

dajamanté 5269
Postad: 5 jan 2019 11:24

Hmmm jag är ledsen, jag förstår inte. Du låg dem i rader?

dioid 181
Postad: 5 jan 2019 16:04

När jag läste lineär algebra, för många år sen, så hade vi en lärobok (boken med kossan på) som på omslaget hade en rebus som utläses "KOordinater alltid i KOlonn", som en minnesregel att man lägger koordinaterna (i det här fallet bilden av basvektorerna) som kolonner i matrisen (som representerar avbildningen i basen).

 

Men det är egentligen ett godtyckligt val som följer från att man representerar vektorer i vektorrummet  (given en viss bas) som kolonnvektorer och avbildningen med matrisen A som Ax, dvs matrisen till vänster och vektorn till höger.

 

Det går i princip lika bra att göra tvärtom, dvs representera vektorer som radvektorer och avbildningen som xA och då blir allt tvärtom (rader är bilden av basvektorerna), men det kan du nog bortse från just nu.

 

Som AlvinB skrev så är det koefficienterna framför x (för de olika raderna) som blir första kolumnen, osv.

 

Du tänker på koefficienterna i x-2y+5z = 2, men det är koefficienterna för en normalvektor, det är i princip en kovektor och inte en vektor och då blir koordinaterna i rad istället för kolumn.

dajamanté 5269
Postad: 5 jan 2019 16:16

Jo, jag hört talat att det var en annan book förut men dem har bytt det förra året 😀!

Ok, vi säger att jag skriver dem alltid i kolonner, och jag har 99% chans att vara rätt. Det låter bra.

dioid 181
Postad: 5 jan 2019 17:47 Redigerad: 5 jan 2019 17:49

 Det är mer än 99% chans att koordinater alltid är i kolonn, det är först när du kommer in på matematisk statistik och markovkedjor du kommer se motsatsen, de gillar p_(i+1) = p_i T där p_i är en radvektor (med sannolikheter) och T är en matris med övergångssannolikheter, men det är en senare fråga, bekymra dig inte över det nu.

AlvinB 3987
Postad: 5 jan 2019 19:04 Redigerad: 5 jan 2019 19:09

Vad jag menar är att med ett ekvationssystem hamnar koefficienterna för en viss variabel i kolonnerna i matrisen:

vilket kan se ut som att man tar varje ekvations koefficienter och lägger dem som rader, men det är detta man egentligen gör.

Anledningen till detta är att vid en matrismultiplikation multipliceras xx-koordinaten med vänsterkolonnen, yy-koordinaten med mittenkolonnen och zz-koordinaten med högerkolonnen:

1-2551-23-41xyz=x153+y-21-4+z5-21=x-2y+5z5x+y-2z3x-4y+z\begin{bmatrix}\color{red}1&\color{green}-2&\color{blue}5\\\color{red}5&\color{green}1&\color{blue}-2\\\color{red}3&\color{green}-4&\color{blue}1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\color{red}x\\\color{green}y\\\color{blue}z\end{bmatrix}=\color{red}x\begin{bmatrix}1\\5\\3\end{bmatrix}\color{black}+\color{green}y\begin{bmatrix}-2\\1\\-4\end{bmatrix}\color{black}+\color{blue}z\begin{bmatrix}5\\-2\\1\end{bmatrix}\color{black}=\begin{bmatrix}x-2y+5z\\5x+y-2z\\3x-4y+z\end{bmatrix}

När man då skall skriva ekvationssystemet med en matris inser man då att alla xx-termer blir den vänstra kolonnvektorn, alla yy-termer blir den mittersta kolonnvektorn o.s.v. Ekvationssystemet är alltså en sammanslagning av alla kolonnvektorer på en gång.

Däremot när vi skall konstruera en matris av en avbildning där vi vet basvektorernas avbildningar (som i denna uppgift) är det bara att lägga dem som kolonnvektorer eftersom här har vi var och en av basvektorernas avbildningar var för sig.

dajamanté 5269
Postad: 5 jan 2019 20:15 Redigerad: 5 jan 2019 20:16

Det är så vackert illuminerat att jag måste titta på det en gång till en morgon bitti -och innan provet!

Tack 🌹🌷!

Albiki 5320
Postad: 5 jan 2019 23:54 Redigerad: 6 jan 2019 00:04

Uttryckt med hjälp av standardbasen e={e1,e2,e3}e=\{e_1,e_2,e_3\} ser den linjära avbildningen L(x)L(x) ut som

    L(x)=(1,2,2)T×(x1,x2,x3)T=(0x1-2x2+2x3)e1+(2x1+0x2-x3)e2+(-2x1+x2+0x3)e3L(x)=(1,2,2)^{T}\times (x_1,x_2,x_3)^{T}=(0x_1-2x_2+2x_3)e_1+(2x_1+0x_2-x_3)e_2+(-2x_1+x_2+0x_3)e_3

vilket kan skrivas som matrismultiplikation

    1000100010-2220-1-210x1x2x3=EAx\displaystyle\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-2&2\\2&0&-1\\-2&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=EAx

där kolonnerna hos matrisen EE är vektorerna hos basen ee.

Basen ee transformeras till basen b={b1,b2,b3}b=\{b_1,b_2,b_3\} via tranformationsmatrisen PP där

    B=EPE=BP-1B = EP\iff E=BP^{-1}

vilket betyder att den linjära avbildningen LL kan uttryckas som matrisprodukten

    L(x)=BP-1Ax,L(x) = BP^{-1}Ax,

så att avbildningens matris i basen bb är lika med matrisprodukten

    P-1A.P^{-1}A.

Albiki 5320
Postad: 6 jan 2019 00:13 Redigerad: 6 jan 2019 00:21

Den givna basen bb indikerar att tranformationsmatrisen PP ser ut som

    B=10001000112-22052-1-4=EP\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&0&5\\2&-1&-4\end{pmatrix}=EP

vilket ger den inversa matrisen

    P-1=14551010180-9-25-4\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}5&10&10\\18&0&-9\\-2&5&-4\end{pmatrix}

och den linjära avbildningen representeras av matrisen

    P-1A=150002-5420-1\displaystyle P^{-1}A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}0&0&0\\2&-5&4\\2&0&-1\end{pmatrix}.

Svara Avbryt
Close