Transportfenomen - är det verkligen tillåtet att ta ett gränsvärde på båda sidor?

Hej!

Jag håller på att läsa en härledning i boken Fundementals of Momentum, Heat and Mass Transfer och det brister lite för mig i grundskolematematiken. Nedan finns en bild på s. 16 ur boken:

Jag förstår att författarna tillämpar ett "gränsvärde på båda sidor" och låter $\Delta x, \Delta y,\Delta z \to 0$ , och eftersom $\rho \mathbf{g}$ är en konstant förändras det inte. Men min fråga är om det ens är algebraiskt tillåtet att göra så som de har gjort. Om vi utgår från ekvationerna har vi alltså dels

$\displaystyle \rho\mathbf{g}=\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}e_x+\frac{P(y+\Delta y)-P(y)}{\Delta y}e_y+\frac{P(z+\Delta z)-P(z)}{\Delta z}e_z$

men också tydligen

$\displaystyle \rho \mathbf{g}= \nabla P$

Om detta verkligen stämmer måste vi väl dessutom ha

$\displaystyle \nabla P=\rho\mathbf{g}=\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}e_x+\frac{P(y+\Delta y)-P(y)}{\Delta y}e_y+\frac{P(z+\Delta z)-P(z)}{\Delta z}e_z$

vilket uppenbarligen inte kan stämma. Så vad är det som försiggår här egentligen?

Du har medelvärdessatsen. Tyngdkraften på boxen är $∆ x ∆ y ∆ z$ $ρ (x *) g$ , där x* är någon punkt inne i boxen, punkten beror i allmänhet på hur stor du gör boxen. När du krymper boxen mot noll så går x* mot x. Så i limes får vi att $ρ (x) g = \nabla P (x)$ .

Ah okej. Så är det alltså bara extremt slarvigt / felaktigt skrivet i boken?

Det är kanske en fysikbok, de brukar inte vara 100% rigorösa.

Jag tycker det verkar som en extremt väsentlig detalj. Men men. Tack för förtydligandet! Jag får läsa resten av boken som en hök för att inte bli lurad av den här fysiker”pragmatismen”.

Svara

Visa senaste svar