Trippelintegral

Ska beräkna följande integral: $\int \int \int_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} d x d y d z, D = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1, z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

Beräknade först integralen $\int_{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} d z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} - \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Skärningspunkten mellan de två kurvorna ges av cirkeln $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ . $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} r \sqrt{1 - r^{2}} - r^{2} d r = \frac{2 π}{3} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ . Svaret ska dock bli $\frac{π}{2} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ . Får en en faktor 4/3 för mycket. Vad gör jag fel?

Det kanske hade varit bra att använda sfäriska koordinater här.

Alan123 skrev:
Det kanske hade varit bra att använda sfäriska koordinater här.

Problemet blir att jag inte riktigt har koll på gränserna där. Jag har ju $0 \leq ϕ \leq 2 π$ och $0 \leq r \leq 1$ , men hur blir det med $θ$ (iom att $z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ )? Och cylindriska koordinater, som jag använder i mitt försök till lösning, borde väl i teorin fungera bra?

Eller hmm, om jag pluggar in sfäriska koordinater i $z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ får jag $r \cos (θ) \geq r \sin (θ) \Rightarrow θ \leq \frac{π}{4}$ . Alltså $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ . Stämmer det?

Tror du menar $ϕ$ . Kör på sfäriska koordinater där du har :

$0 \leq ρ \leq 1 0 \leq θ \leq 2 π 0 \leq ϕ \leq \frac{π}{4}$ .

När du ställer upp det får du = $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{2 π} ρ \cdot ρ^{2} \sin (ϕ) d θ d ϕ d ρ$ .

Hur har du integrerat hela rotsaken? När jag försöker slå upp det blir det inget vackert iaf.

Micimacko skrev:
Hur har du integrerat hela rotsaken? När jag försöker slå upp det blir det inget vackert iaf.

Jag försökte gratinera rotsakerna, då blev det så här 😀

Integrera först med avseende på $θ$ , detta blir bara $2 π$ som du kan lägga utanför integralen. Sen $ϕ$ , och sist $ρ$ . Visa gärna med en bild eller liknande hur du gjort.

Yngve skrev:
Micimacko skrev:
Hur har du integrerat hela rotsaken? När jag försöker slå upp det blir det inget vackert iaf.
Jag försökte gratinera rotsakerna, då blev det så här 😀

haha snyggt Yngve, jag kommer och provar ;)

Alan123 skrev:
Tror du menar $ϕ$ . Kör på sfäriska koordinater där du har :
$0 \leq ρ \leq 1 0 \leq θ \leq 2 π 0 \leq ϕ \leq \frac{π}{4}$ .
När du ställer upp det får du = $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{2 π} ρ \cdot ρ^{2} \sin (ϕ) d θ d ϕ d ρ$ .

Nja, fast i min kurslitteratur definieras $θ$ och $ϕ$ på motsatt sätt. Fast hur kan jag vara säker på att vinkeln från z-axeln (vad man nu må kalla den) går till $\frac{π}{4}$ ? Håller mitt algebraiska resonemang från mitt tidigare inlägg?

Dessutom kvarstår min fråga kring om det är möjligt att göra det med cylindriska koordinater, och hur man då ska gå tillväga.

Har du testat rita området? Först har du en enhetsklot, sedan är en begränsning att $z\geq \sqrt{x^2+y^2}$ . Vad är det sista för geometrisk form?

Svara Avbryt

Visa senaste svar