Tröghetsmoment längs x-, y- och z-axel

Hej!

Jag har precis börjat med tröghetsmoment och skulle behöva hjälp med följande uppgift:

Jag tror att jag förstår vad tröghetsmoment är, jag förstår bara inte riktigt hur de blir i de olika axlarna. Jag använder formeln $I = \sum_{}^{} m_{i} d^{2}$

I_y lyckades jag beräkna, den är väl lättast; $I_{y} = \sum_{}^{} m \times \frac{d x}{L} x^{2} = \frac{m}{L} \int_{0}^{L} x^{2} d x = \frac{m}{L} \times \frac{1}{3} L^{3} = \frac{m L^{2}}{3}$

Men när jag ska gå vidare och beräkna I_x, tröghetsmoment runt x-axeln, så blir det bara fel. Jag tänker att massan borde ju bli samma som ovan, dvs hela stångens massa gånger varje liten bit dy:s längd; $m \times \frac{d y}{L}$ . Men jag fattar inte riktigt vad d ska vara och sedan vad det blir för integrationsgränser.

Tacksam för en knuff i rätt riktining!

Ska man tänka att stången är oändligt tunn?

Det framgår inte.. Men om den inte är det, skulle man inte behöva veta dess radie för att kunna komma vidare då?

Ja man måste integrera r^2 över oändligt många masselement dm och om stången saknar utbredning i y-led så blir radien konstant map. x-axeln

Tillägg: 26 maj 2025 17:37

Tror jag i alla fall. Är inte säker, men du kan ju testa.

Precis. dm = (m/L)dx. Sedan har du olika avstånd till axlarna till respektive dm.

I fallet med x-axeln så har alla dm samma avstånd till x-axeln.

Tack för hjälpen, jag är inte riktigt med på tåget ännu...

I fallet med x-axeln så har alla dm avståndet L/2 till x-axeln ju. Men jag kan väl inte ha samma integrationsgränser både uppe och nere, då tar de ju ut varandra? Jag har också försökt använda formeln för parallellförskjutning, eftersom stången ligger parallellt med x-axeln men det blir inte rätt ändå.

I_x = $\int_{0}^{L} \frac{L^{2}}{4} \cdot \frac{m}{L} d x = \frac{m L^{2}}{4}$ .

Jag förstår inte vad 1/4 kommer ifrån!

Avståndet till x-axeln från stången är L/2. Kvadrera det och du får L²/4.

Tack, nu förstår jag äntligen.

När det gäller I_zså varierar ju avståndet till z-axeln från L/2 till $\sqrt{5} / 2$ L, så det blir väl integrationsgränserna men jag förstår inte riktigt hur jag ska uttrycka själva radien i z-axeln?

Avståndet i kvadrat till z-axeln från ett litet dm är (Pythagoras) (L/2)² + x².

Så I_z = $\int_{0}^{L} (\frac{L^{2}}{4} + x^{2}) \cdot \frac{m}{L} d x$ .

Tack! Det känns så självklart när man ser det ...

Svara

Visa senaste svar