5 svar
123 visningar
tomast80 är nöjd med hjälpen!
tomast80 1636
Postad: 9 jul 2018

Tyngdpunktsmetoden

Hej!

Blev inspirerad av Guggles tyngdpunktsmetod vid integralberäkring och tänkte att man måste kunna härleda ett volyms klot (radien = R R ) genom att räkna ut följande integral:

2·D z(x,y)dxdy2\cdot \int\int_D\ z(x,y) dxdy

där z(x,y)=R2-x2-y2 z(x,y) = \sqrt{R^2-x^2-y^2}

och D:x2+y2R2 D: x^2+y^2 \le R^2

Frågan är dock hur man räknar ut tyngdpunkten i z-led? Åtminstone utan variabelbyte. Och sedan multiplicerar med bottenarean: πR2.

SeriousCephalopod 686
Postad: 9 jul 2018

Kanske ska länka till Guggles tyngpunktmetod också så att man hänger med bakgrunden?

tomast80 1636
Postad: 9 jul 2018
SeriousCephalopod skrev:

Kanske ska länka till Guggles tyngpunktmetod också så att man hänger med bakgrunden?

 Bra idé! Här kommer en länk till Guggles inlägg:

https://www.pluggakuten.se/trad/epic-fail-med-bade-jacobism-och-lalg/?order=all#post-ef7c6131-079a-4e4d-b793-a9170123bc0b

tomast80 1636
Postad: 10 jul 2018

Om jag inte är helt fel ute borde man väl kunna beräkna tyngdpunkten i z-led: zg z_g genom tunna skal parallella med xy-planet? Får då följande:

zg=I1I2 z_g = \frac{I_1}{I_2}

I1=0Rz·π(r(z))2dz

I2=0Rπ(r(z))2dz I_2 = \int_0^R \pi (r(z))^2 dz

Guggle 1177
Postad: 10 jul 2018 Redigerad: 10 jul 2018

Hej

Det vore förvisso smickrande om vi kunde döpa om alla metoder som bygger på medelvärden, symmetrier eller tyngdpunktsberäkningar till Guggle-metoder, men det är kanske lite att ta i eftersom det är metoder som användes flera hundra år innan jag föddes  :)

Jag förstår att du vill hitta ett nytt elegant sätt att visa hur man beräknar volymen av ett klot, men jag förstår inte helt vad du räknar ut. Medelvärdet av funktionen z(x,y) över D är inte samma sak som halvklotets tyngdpunkt.

Tyngdpunkten för halvklotet i z-led är zp=3R8z_p=\frac{3R}{8}

Medelvärdet av z(x,y)=R2-x2-y2z(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2} över D är z¯=2R3\bar{z}=\frac{2R}{3} och inträffar när x2+y2=59R2x^2+y^2=\frac{5}{9}R^2.

Det är medelvärdet som ger volymen i din formel (när du multiplicerar med basytan πR2\pi R^2):

2·Dz(x,y)dxdy=2·πR2·23R=4πR33\displaystyle 2\cdot \iint_Dz(x,y)\, dxdy=2\cdot \pi R^2\cdot \frac{2}{3}R=\frac{4\pi R^3}{3}

 Vårt problem är att medelvärdet av z(x,y)z(x,y) över basytan D inte är trivialt att bestämma utan att "fuska" med integraler, så frågan är hur mycket fusk du tillåter.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ett exempel på hur man använder symmetri och tyngdpunkten visas i den till synes skräckinjagande volymintegralen V(5x5y3+2x+8y+z)dV\int_V (5x^5y^3+2x+8y+z)\,dV över halvklotet ovan.

I=V(5x5y3+2x+8y+z)dxdydz=V·zp=2πR33·3R8=πR44\displaystyle I=\int_V (5x^5y^3+2x+8y+z)\,dxdydz=V\cdot z_p=\frac{2\pi R^3}{3}\cdot \frac{3R}{8}=\frac{\pi R^4}{4}

Där vi utnyttjat att bidragen från udda potenser av x och y måste vara noll av symmetri samt att vi känner till uttryck för tyngdpunkt och volym hos ett klot.

tomast80 1636
Postad: 10 jul 2018

Tack Guggle för lektionen! Anser mig rätt bra på matte, men detta är en nivå till...

Visst, du var inte först, men du förklarar på ett mycket bra sätt så jag döper gärna om metoderna med prefixet "Guggle".

Tror jag förstod nu på vilket sätt jag tänkte fel: för att få tyngdpunkten i z-led måste jag ju integrera z-koordinaten över alla volymelement i halvklotet, inte höjden över alla areaelement i projektionen i xy-planet.

Snygg tillämpning sedan för att lösa den hiskeliga integralen över halvklotet. Den hade inte varit rolig med de vanliga metoderna...

Svara Avbryt
Close