Undersök om det finns en minimipunkt hos funktionen f(x)

Jag fick kolla upp lösningen och deras argumentation.

Jag tycker din lösning är mkt. bättre. (Jag hade dock aktat mig lite för att rita ut y-axeln, då du visar att var nollstället faller, vilket eg. är på den negativa sidan;

Deras motivering är bristfällig IMO. Eleven glömmer att motivera med att sinus är en udda funktion och att koefficienterna är gynnsamt valda, annars går det att skapa en funktion med fler än 1 minimum som ändå är "x^2-lik". Det räcker inte att säga att kurvan "i stort är x^2" och därmed har en (1) vändpunkt, vilket ses nedan.

Lösningen på a) var imponerande. Mycket snyggt och fint.
b) är också ganska bra, men som Trinity2 påpekat så hade du kunnat visa att f(x) har ett negativt värde på x i minimipunkten.
     För att få en överblick av f(x) så hade du kunnat integrera f'(x) vilket inte är så svårt och kanske bifogat en skiss av den.

Vilket år var det nationella provet från?

Tänk på att strängt växande inte innebär att funktionen skär x-axeln, du bör försäkra dig om att funktionen är mindre än noll samt större än noll vid två olika punkter. Sedan kan du dra slutsatsen att funktionen måste ha passerat x-axeln exakt en gång på vägen mellan punkterna eftersom den är strängt växande.

 Jmfr funktionen $f(x)=e^x$ och ekvationen $f(x)=0$

Aha. $f\left(x\right)=e^x$har derivatan $D\left(e^x\right)=e^x$>0 för alla x (strängt växande).$f\left(x\right)$ kan inte skära x-axeln då ekvationen $e^x=0$ saknar lösning. Det betyder att en strängt växande funktion inte nödvändigtvis skär x-axeln.

Då ska jag försöka lösa uppgiften och ni får gärna säga om jag borde ändra något:

Det är helt säker att $y = f\text{'}\left(x\right)$ korsar x-axeln exakt en gång om:

• $f"\left(x\right)>0$ för alla x
• $f\text{'}\left(a\right)<0$ och $f\text{'}\left(b\right)>0$ för något tal a och något tal b, där $b>a$
• $y=f\text{'}\left(x\right)$ är kontinuerlig på hela definitionsmängden

Det första villkoret har redan bevisats i a-uppgiften. 

Andra villkoret: 

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4x+6\cos \left(\frac{x}{2}\right) \\ Låt a =-1000 och b=1000. För stora \left|x\right| dominerar termen 4x eftersom 6\cos \left(\frac{x}{2}\right) är max=6 och min=-6. \\ f\text{'}\left(x\right)\approx 4x för stora \left|x\right| \\ f\text{'}(-1000)\approx -4000<0 \\ f\text{'}\left(1000\right)\approx 4000>0 \end{gathered}$$

Tredje villkoret:

Summan $4x+6\cos \left(\frac{x}{2}\right)$är kontinuerlig om varje term är kontinuerlig. Linjära funktioner och cosinusfunktioner är kontinuerliga för alla x. Alltså måste f'(x) vara kontinuerlig för alla x.

Alla villkor är uppfyllda vilket måste betyda att grafen y = f'(x) korsar x-axeln en gång. Det betyder att y = f(x) har exakt en extrempunkt och det är en minimipunkt i enlighet med det första villkoret (f''(x)>0 för alla x).

theg0d321 skrev:

Aha. $f\left(x\right)=e^x$har derivatan $D\left(e^x\right)=e^x$>0 för alla x (strängt växande).$f\left(x\right)$ kan inte skära x-axeln då ekvationen $e^x=0$ saknar lösning. Det betyder att en strängt växande funktion inte nödvändigtvis skär x-axeln.

Då ska jag försöka lösa uppgiften och ni får gärna säga om jag borde ändra något:

Det är helt säker att $y = f\text{'}\left(x\right)$ korsar x-axeln exakt en gång om:

• $f"\left(x\right)>0$ för alla x
• $f\text{'}\left(a\right)<0$ och $f\text{'}\left(b\right)>0$ för något tal a och något tal b, där $b>a$
• $y=f\text{'}\left(x\right)$ är kontinuerlig på hela definitionsmängden

Det första villkoret har redan bevisats i a-uppgiften. 

Andra villkoret: 

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4x+6\cos \left(\frac{x}{2}\right) \\ Låt a =-1000 och b=1000. För stora \left|x\right| dominerar termen 4x eftersom 6\cos \left(\frac{x}{2}\right) är max=6 och min=-6. \\ f\text{'}\left(x\right)\approx 4x för stora \left|x\right| \\ f\text{'}(-1000)\approx -4000<0 \\ f\text{'}\left(1000\right)\approx 4000>0 \end{gathered}$$

Tredje villkoret:

Summan $4x+6\cos \left(\frac{x}{2}\right)$är kontinuerlig om varje term är kontinuerlig. Linjära funktioner och cosinusfunktioner är kontinuerliga för alla x. Alltså måste f'(x) vara kontinuerlig för alla x.

Alla villkor är uppfyllda vilket måste betyda att grafen y = f'(x) korsar x-axeln en gång. Det betyder att y = f(x) har exakt en extrempunkt och det är en minimipunkt i enlighet med det första villkoret (f''(x)>0 för alla x).

Återigen ett bra tänk!
Hur såg du på mitt förslag att ta fram f(x) genom att integrera?
Det skulle vara intressant att få veta hur svaret såg ut?

Jo det skulle också vara intressant att testa genom att integrera.

$f\left(x\right)=\int f\text{'}\left(x\right)dx=\int (4x+6\cos (\frac{x}{2}\left)\right)dx=\frac{4x^2}{2}+6·\frac{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+C=2x^2+12\sin \left(\frac{x}{2}\right)+C$

Vi har alltså att $f\left(x\right)=2x^2+12\sin \left(\frac{x}{2}\right)+C$

Konstanten C påverkar inte grafens form utan förskjuter bara grafen i y-led. Termen $12\sin \left(\frac{x}{2}\right)$kan max bli 12 och minst bli -12, eftersom $-1\le s\mathrm{in}x\le 1$.

För stora $\left|x\right|$kommer $2x^2$att dominera.

Därför kan f(x) approximeras: $f\left(x\right)\approx 2x^2$. Gränsvärdet $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$innebär att f(x) går mot oändligt stora y-värden dels när x blir stort negativt och stort positivt. Det måste betyda att f(x) vänder någon eller några gånger, d.v.s. det finns en- eller flera minimipunkter.

Det som jag dock inte förstår är hur man visar att det bara är en minimipunkt med denna lösningsmetod. Det skulle ju kunna var så att funktionen vänder flera gånger och har således flera minimipunkter, vilket trinity2 skrev i sitt inlägg.

Du är underbart noggrann vilket jag uppskattar mycket. Jag försöker att vara så också, men det kräver en oerhörd disciplin.

Ett sätt att förklara varför det finns bara en minimipunkt kan vara genom att presentera termerna som egna funktioner i form av grafer. 
Vi har tre termer och kan skriva dem som $f\left(x\right)=2x^2, g\left(x\right)=12\sin \left(\frac{x}{2}\right), h\left(x\right)=C$
Som du konstaterar så kommer enbart de två första att påverka om vi har någon eller många minpunkter.
De två andra ser ut så här:

Av de två graferna kan vi konstatera att det är bara vid värden på c:a x < 20 som g(x) påverkar additionen av de två.
Alltså finns bara en minimipunkt. (Egentligen frågar de bara efter om vi har någon minimipunkt)
Se $f\left(x\right)=2x^2+12\sin \left(\frac{x}{2}\right)$nedan.

Tack för förtydligandet. Båda lösningsmetoderna borde fungera eftersom, som du nämnde, att frågan egentligen handlar om funktionen f(x) har någon minimipunkt, vilket vi redan har visat. De frågar inte om antalet minimipunkter. Det är iallafall så som jag tolkar frågan.

Förresten ber jag om ursäkt ifall jag hade lite väl mycket funderingar kring den här frågan (jag postade ju ganska många inlägg), men lösningsförslaget i facit var så bristfällig att den här frågan behövde redas ut på riktigt. Tack för hjälpen alla!

Det var bara trevligt. Du lärde även mig en del. Det är det bästa med pluggakuten alla kan lära sig något.