Undersöka vinklar i komplexa talet z

Om du beräknar $z^{2}$, får du $z^2=r^2\left(\cos \left(2v\right)+i\sin \left(2v\right)\right)$. För vilka vinklar v kommer du att få ett reellt tal (ingen imaginärdel) respektive ett rent imaginärt tal (ingen realdel)? 

Smutstvätt skrev:

Om du beräknar $z^{2}$, får du $z^2=r^2\left(\cos \left(2v\right)+i\sin \left(2v\right)\right)$. För vilka vinklar v kommer du att få ett reellt tal (ingen imaginärdel) respektive ett rent imaginärt tal (ingen realdel)? 

När vinkeln är 0 och 180 får jag bara realdel och när vinkeln är 90 och 270 får jag bara imaginärdel? 

Det stämmer för realdelarna, men hur är det för imaginärdelarna? Prova att rita upp ett komplext talplan, och märk ut vinklarna, så kommer du att se lite lättare var vinklarna ligger. :)

Smutstvätt skrev:

Det stämmer för realdelarna, men hur är det för imaginärdelarna? Prova att rita upp ett komplext talplan, och märk ut vinklarna, så kommer du att se lite lättare var vinklarna ligger. :)

Får det inte att stämma... 

Lägg upp en bild på hur du ritat, så hjälper vi dig!

angelicamaja

När vinkeln är 0 och 180 får jag bara realdel och när vinkeln är 90 och 270 får jag bara imaginärdel? 

Du tänker för många steg i taget.

Gör istället så här:

----------------

För att det komplexa  talet z^2 ska vara utan imaginärdel så måste Arg z^2 vara lika med 0° + n*180°.

Det ger dig ekvationen 2v = 0° + n*180°.

Lös den så har du första delen av svaret.

-----

För att det komplexa talet z^2 ska vara utan realdel så måste Arg z^2 vara lika med ...

Det ger dig ekvationen ...

Lös den så har du andra delen av svaret.

När man multiplicerar två komplexa tal (z*z), multiplicerar man deras belopp och adderar deras vinklar

$z*z = \left|z\right|*\left|z\right|\angle (\alpha +a)={\left|z\right|}^2\angle 2\alpha$

Rent reella lösningar:
$2\alpha =n\mathrm{\pi }...\alpha =n\frac{\mathrm{\pi }}{2}...\mathrm{n}\in \mathbf{Z}$

Rent imaginära lösningar

$2\alpha =\frac{\pi }{2}+n\mathrm{\pi }...\alpha =\frac{\pi }{4}+n\frac{\mathrm{\pi }}{2}...\mathrm{n}\in \mathbf{Z}$