Uppgift om växande/avtagande funktion
För vilka värden av x är funktionen f(x) = x-e^x avtagande, och strängt avtagande?
Derivatan av funktionen ska ju då bli f'(x) = 1-e^x, och för att funktionen ska vara avtagande måste derivatan vara negativ eller noll, och för att vara strängt avtagande, negativ eller negativ med enstaka punkter där derivatan är 0.
Då tänker jag att svaret är x=>0 är svaret för båda, då det leder till endast negativa derivatan och en enskild punkt där derivatan är noll och uppfyller då kraven för båda definitionerna.
Facit säger däremot att x>=0 endast gäller för avtagande, och svaret är x>0 för strängt avtagande, vad beror detta på?
I punkten är derivatan så punkten uppfyller kravet för uppgiftens definition av avtagande men inte kravet för strikt avtagande (strikt mindre än ).
Pankakan skrev:[...]
Då tänker jag att svaret är x=>0 är svaret för båda, då det leder till endast negativa derivatan och en enskild punkt där derivatan är noll och uppfyller då kraven för båda definitionerna.
Facit säger däremot att x>=0 endast gäller för avtagande, och svaret är x>0 för strängt avtagande, vad beror detta på?
Jag anser att du har rätt och att det står fel I facit.
Alla punkter i intervallet uppfyller villkoret för en strängt avtagande funktion, dvs att medför att .
naytte skrev:I punkten är derivatan så punkten uppfyller kravet för uppgiftens definition av avtagande men inte kravet för strikt avtagande (strikt mindre än ).
Ska dock inte defitionen av strikt avtagande vara om X1 < X2 => f(X1) > f(X2)? Om det endast är enstaka punkter där derivatan är 0, alltså att det är alltid är punkter där derivatan är >0 mellan punkterna där derivatan är 0, så gäller ju ändå definitionen?
Pankakan skrev:
Ska dock inte defitionen av strikt avtagande vara om X1 < X2 => f(X1) > f(X2)?
Jo, det stämmer.
Att derivatan är strikt mindre än 0 är ett tillräckligt, men inte nödvändigt, villkor för att funktionen ska vara strikt avtagande.
Att derivatan är strikt mindre än 0 är ett tillräckligt, men inte nödvändigt, villkor för att funktionen ska vara strikt avtagande.
Menar du bara "avtagande" här?
naytte skrev:
Menar du bara "avtagande" här?
Nej, jag menar strängt avtagande (råkade skriva strikt avtagande).
Vilket annat krav skulle kunna gälla för att en funktion ska vara strängt avtagande förutom att derivatan är mindre än noll?
Se svar #3 och Wikipedias artikel om monotona funktioner, speciellt exemplen på slutet.
T.ex. är funktionen strängt växande I hela sin definitionsmängd, trots att derivatan är lika med 0 i origo.
Det är alltså inte relevant att prata om egenskaperna (strängt) växande/avtagande funktioner i specifika punkter.
Dessa egenskaper är istället endast applicerbara i intervall.
