9 svar
133 visningar
mattesnubben är nöjd med hjälpen
mattesnubben 6
Postad: 7 jun 2022 09:15 Redigerad: 8 jun 2022 10:31

Uppgifter (Definitionsmängd/funktionslära)

Hejsan! 

Jag läser en matematikkurs och behöver ha avklarat nedanstående uppgifter senast idag för att kunna skriva en tenta, hade verkligen uppskattats med hjälp då jag har lite svårt att förstå hur man ska tänka. Har även bifogat en bild på uppgiften.

a) h(x) = f(g(x)). Eftersom g(x) = -7x/2 → f(g(x)) = f(-7x/2)

Således är h(x) = cos(pi(-7x/2))

h(x) = f(-7x/6)

h(x)=cos(pi*(-7x/6)) 

 

Jag har inte kommit längre än så, men skulle uppskatta tips/lösningsförslag på samtliga uppgifter och hur man ska tänka. Tacksam för svar!

Yngve 38322 – Livehjälpare
Postad: 7 jun 2022 09:30 Redigerad: 7 jun 2022 09:45
mattesnubben skrev:

h(x) = f(-7x/6)

Ja, det stämmer

h(x)=cos(pi*(-7x/6)) 

Du glömmer faktorn 2/5 och konstanttermen 5.

=======

Och välkommen till Pluggakuten!

SaintVenant 3852
Postad: 7 jun 2022 12:05

Varför byter du till f(x)=cos(πx)f(x)=\cos(\pi x)?

mattesnubben 6
Postad: 7 jun 2022 12:06
SaintVenant skrev:

Varför byter du till f(x)=cos(πx)f(x)=\cos(\pi x)?

Tror jag tittade lite för mycket på någon som haft en liknande uppgift med helt andra siffror och variabler. Behöver nog göra om från början men förstår inte hur man skall tänka så vet ej vart jag ska börja.

SaintVenant 3852
Postad: 7 jun 2022 12:08 Redigerad: 7 jun 2022 12:09

Om du har att f(x)=x2f(x) = x^2 och g(x)=tan(3x)g(x) = \tan(3 x) vad blir då h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x))? Om du inte vet ska du inte gissa utan skriv då att du inte vet.

mattesnubben 6
Postad: 7 jun 2022 12:44
SaintVenant skrev:

Om du har att f(x)=x2f(x) = x^2 och g(x)=tan(3x)g(x) = \tan(3 x) vad blir då h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x))? Om du inte vet ska du inte gissa utan skriv då att du inte vet.

Tack för svar. Vad får du tan(3x) ifrån? Eftersom g(x) = tan(3x) bör väl h(x) = f(g(x)) = f((tan(3x))^2). Eller tänker jag helt fel då?

SaintVenant 3852
Postad: 9 jun 2022 11:57
mattesnubben skrev:

Tack för svar. Vad får du tan(3x) ifrån?

Jag hittade bara på en funktion.

Eftersom g(x) = tan(3x) bör väl h(x) = f(g(x)) = f((tan(3x))^2). Eller tänker jag helt fel då?

Det sista steget knasar lite. Det blir:

f(g(x))=f(tan(3x))=(tan(3x))2f(g(x)) = f(\tan(3x)) = (\tan(3x))^2

Alltså, i ditt fall då du ska beskriva en sammansatt funktion fgf \circ g får du enkelt:

h(x)=f(g(x))=f(-7x/2)h(x) = f(g(x)) = f(-7x/2)

Frågan är nu bara vad f(x)f(x) är lika med.

mattesnubben 6
Postad: 9 jun 2022 13:25

Hej igen!

 

Se mina svar nedan. Tacksam för feedback och vägledning kring 2 sista.

 

a) 

Vi vet att h(x) = f(g(x)). Således är h(x) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) + 5

__________________________________________________________

b) 

x = 3

h(3) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{3⋅7⋅π}{2}$) + 5


h(3) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{21π}{2}$) + 5


Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-$\frac{21π}{2}$):


sin (-$\frac{21π}{2}$) = -sin ($\frac{21π}{2}$)


-sin ($\frac{21π}{2}$) --> Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med $\frac{21π}{2}$ och får att -sin ($\frac{π}{2}$). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin ($\frac{π}{2}$) = -1.


Vidare ersätter vi med -1 och får att:

h(3) = $\frac{2}{5}$ ⋅ (-1) + 5


Multiplicering av ett positivt och ett negativt tal ger ett negativt tal:

h(3) = -$\frac{2}{5}$ + 5


Vi skriver nu om det som ett bråk och får att:

h(3) = -$\frac{2}{5}$ + $\frac{25}{5}$ = $\frac{23}{5}$

__________________________________________________________

x = 4


h(4) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{4⋅7⋅π}{2}$) + 5


Vi kan avbryta den gemensamma faktorn 2 i divisionen (-$\frac{4⋅7⋅π}{2}$) och får:

h(4) = $\frac{2}{5}$ sin (-2⋅7π) +  5

h(4) = $\frac{2}{5}$ sin (-14π) +  5


Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-14π) till -sin (14π). Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med 14π och får att -sin(0). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin(0) = -0. Eftersom 0 inte har några tecken översätter vi detta till 0.


Vidare ersätter vi med 0 och får att:

h(4) = $\frac{2}{5}$ ⋅ 0 + 5

h(4) = 0 + 5

h(4) = 5

__________________________________________________________

x = 5


h(5) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{5⋅7⋅π}{2}$) + 5


h(5) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{35π}{2}$) + 5


sin (-$\frac{35π}{2}$) = 1 (se nedan)


Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-$\frac{35π}{2}$) till -sin ($\frac{35π}{2}$). Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med ($\frac{35π}{2}$) och får -sin($\frac{3π}{2}$). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin($\frac{35π}{2}$) = -(-1). Två minustecken = plustecken, därför är -(-1) = 1.


Vidare ersätter vi med 1 och får att:

h(5) = $\frac{2}{5}$ ⋅ 1 + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$ + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$ + $\frac{25}{5}$

h(5) = $\frac{27}{5}$

__________________________________________________________

c) 

Vi vet att h(x) representerar en sammanslagning av f(x) och g(x). Detta antyder att h(x) måste ha samma definitionsmängd som g(x) och samma målmängd som f(x). Således är definitionsmängden $ \mathbb{R}$ och målmängden [2,∞[. 

__________________________________________________________

d) 

Värdemängden för sin(v) är -1≤ sin(v) ≤1, eftersom sinus varierar mellan just -1 och 1. 


Vi ersätter v med sin (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) och får att:

-1≤ sin((-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$)) ≤1


Vidare antyder ovanstående att vi finner h:s extremvärden när (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) = -1 och (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) = 1.


I uppgift b) fick vi att sin sin (-$\frac{3⋅7⋅π}{2}$) = -1 då x antog värdet 3. Vi fick även att sin (-$\frac{5⋅7⋅π}{2}$) = 1 då x antog värdet. Vi räknade också ut att h(3) = $\frac{23}{5}$ och att = h(5) = $\frac{27}{5}$.


Med andra ord är värdemängden för sin(v) = [$\frac{23}{5}$, $\frac{27}{5}$]

mattesnubben 6
Postad: 9 jun 2022 13:40

Lösningsförslag nedan, vet inte om det är korrekt.

 

e) h(2) = 2525sin (-2⋅7⋅π22⋅7⋅π2) + 5 = 5 h(4) = 2525sin (-4⋅7⋅π24⋅7⋅π2) + 5 = 5 Slutsats: h är inte en injektiv funktion eftersom både h(2) och h(4) ger samma värde, dvs 5. __________________________________________________________

f) h är inte en surjektiv funktion eftersom målmängden inte är lika med värdemängden. Värdemängd för sin(v) = [235235, 275275] Målmängden [2,∞[. Med andra ord finns det inga värden för x som kan ge h följande värden: [2,275275] och [235235, ∞[

SaintVenant 3852
Postad: 9 jun 2022 13:48 Redigerad: 9 jun 2022 13:48

Du måste ha dubbla dollar-tecken för att syntax ska tolkas som LaTeX Mathtype på pluggakuten. Läs mer här:

https://www.pluggakuten.se/trad/guide-till-latex-pa-pa/

Svara Avbryt
Close