Utan de moivres formel (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

OliviaH skrev:
Förenkla uttrycket $(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^^{96}$ så långt som möjligt utan att använda de Moivres formel.

hur ska jag börja?

Det känns ungefär som att få uppmaningen "Spring 500 m utan att använda fötterna"!

Det jag kan komma på är att skriva om det som $((\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2})^2)^{48}$ .

Fast det kanske är smartare att skriva det som $((\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2})^3)^{32}$ - kolla det också!

ehm, ska jag ta det på miniräknaren eller? Får då, 6,27*10¹¹

Jag vet inte alls hur jag ska tänka här, svår uppgift. Kan jag använda mig av att de har samma nämnare?

Tillägg: 28 maj 2022 21:05

Nu fick jag samma svar på båda beräkningarna du skrev, det blev ungefär 1*10¹³

Nej, du skall förenkla det som står inuti parentesen exakt.

$0, 5 ² + i {\frac{\sqrt{3}}{2}}^{2} = 0, 25 - 0, 75 = - 0, 5^48$

såhär?

Nej, du måste använda en kvadreringsregel.

$0, 5 ² + 2 * 0, 5 * i \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} ² = 0, 25 + i \frac{\sqrt{3}}{2} + i ² * \frac{3}{4} = 0, 25 + i \frac{\sqrt{3}}{2} (- 1 (0, 75)) = 0, 25 - 0, 75 + i \frac{\sqrt{3}}{2} = - 0, 5 + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Du har tappat bort ett plustecken, annars ser det korrekt ut. Det blev inte mycket roligare... Multiplicera ihop $(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3i}{2})(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3i}{2})$ och se om det blir något användbart!

Var tappade jag bort det?

$(- 0, 5 * 0, 5) - (0, 5 * \frac{\sqrt{3} i}{2}) + (\frac{\sqrt{3} i}{2} * 0, 5) + (\frac{\sqrt{3} i}{2} * \frac{\sqrt{3} i}{2}) = - 0, 25 + \frac{3 i}{2}$ ???????

1/2+sqrt(3)/2i är en lösning till z^3=-1 eller, bättre, z^6=1 varför

z^96 = (z^6)^16 = 1^16 = 1.

nu hänger jag inte med.

OliviaH skrev:
Var tappade jag bort det?

$(- 0, 5 * 0, 5) - (0, 5 * \frac{\sqrt{3} i}{2}) + (\frac{\sqrt{3} i}{2} * 0, 5) + (\frac{\sqrt{3} i}{2} * \frac{\sqrt{3} i}{2}) = - 0, 25 + \frac{3 i}{2}$ ???????

Innan "(-1(0,75))". Det ser ut som om man skall multiplicera parentesen med det som står strax till vänster.

Rita in punkten i komplexa talplanet. Kolla vad absolutbeloppet är.

Sedan kan du använda lite trigonometri (kända värden).

kan jag tänka såhär

$\sqrt{0, 5 ² + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{0, 25 + 0, 75} = \sqrt{1} = 1$

Om z= parentesen som ska upphöjas, var ligger z i det komplexa planet? Vad innebär upphöjning till 2 för absolutbeloppet av z? För argumentet? Finns det någon exponent n sådan att zⁿ=z ? Är 96 delbart med n ?

förstår tyvärr inte vad du menar

Det finns ett lösningsförslag till samma uppgift i den här tråden.

Det är samma lösningsförslag som Smaragdalenas alternativ 2 i svar #2.

Det finns faktiskt en mycket enklare lösning på detta.

$z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot e^{i 60 °} z^{96} = 1^{96} \cdot e^{i 60 ° \cdot 96} = 1^{96} \cdot e^{i 360 ° \cdot 16} = 1^{96} \cdot 1^{16} = 1$

okej, ser enkelt ut. Hur blir e^i360*60 = 1^16 ?

Nu läste du nog fel. Jag skev 16, inte 60.
$e^{i 360 °}$ motsvarar att man börjat vid talet $1$ , gått ett helt varv ( $360 °$ ) runt enhetscirkeln och kommit tillbaka till talet $1$ .
Enligt potenslagarna gäller därför följande:

$e^{i 360 ° \cdot 16} = {(e^{i 360 °})}^{16} = 1^{16}$

jarenfoa skrev:
Det finns faktiskt en mycket enklare lösning på detta.

$z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot e^{i 60 °} z^{96} = 1^{96} \cdot e^{i 60 ° \cdot 96} = 1^{96} \cdot e^{i 360 ° \cdot 16} = 1^{96} \cdot 1^{16} = 1$

Det där är väl de Moivres formel? Fast på exponentialform?

Uppgiften går ut på att förenkla uttrycken utan att använda den formeln.

Yngve skrev:
jarenfoa skrev:
Det finns faktiskt en mycket enklare lösning på detta.

$z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot e^{i 60 °} z^{96} = 1^{96} \cdot e^{i 60 ° \cdot 96} = 1^{96} \cdot e^{i 360 ° \cdot 16} = 1^{96} \cdot 1^{16} = 1$

Det där är väl de Moivres formel? Fast på exponentialform?

Uppgiften går ut på att förenkla uttrycken utan att använda den formeln.

Det där är Eulers formel.
de Moivres formel är: ${(\cos (x) + i \sin (x))}^{n} = \cos (n x) + i \sin (n x)$

Nja, det är Eulers formel plus potenslagar.

Jag uppfattade uppgiften som att man inte får använda dem och inte heller räknereglerna för multiplikation av komplexa tal på polär form.

Men det vore ju bra om jag har missuppfattat avsikten. Då blir det, precis som du säger, mycket lättare att lösa uppgiften.

Jag uppfattade det som att uppgiften handlade just om att visa styrkan i Eulers formel och exponentialformen istället för att bara hoppa över den med hjälp av de Moivres formel.
Lite som att förbjuda pq-formeln för att tvinga eleverna att lära sig kvadratkompletera.

OK, vi kan väl be @OliviaH att fråga läraren om det är OK att använda exponentiell polär form plus potenslagar.