Vad är C1 funktioner?

Enbart en klassificering av funktioner. 

AI rapporterar

1. Rummet av kontinuerliga fkner på en mängd X betecknas C(X). Ingen nolla vare sig upptill eller nertill.

2. Det finns en beteckning C₀ som anger kontinuerliga funktioner f med egenskapen att f(X)—>0 när x—> oändl (egentligen att till varje epsilon finns en kompakt mängd utanför vilken |f| < epsilon)

3. För att definiera derivata behöver man en öppen mängd. I C¹(R) kan man dock definiera höger- och vänsterderivata i en randpunkt, vilket blir svårt i högre dimensioner).

4. Om D_f inte är sammanhängande kan det se ut som att en funktion ”hoppar” fastän den är kontinuerlig.

Trinity2 skrev:

Enbart en klassificering av funktioner. 

AI rapporterar

Såå ju om funktionen är så att säga exempelvis C⁴⁷ så går det att derivera den 47 gånger och dess derivator är kontinuerliga men samtidigt så är dess derivator mjuka (d.v.s har kurvor) och ju mer vi deriverar desto mer kurva får den?

Tomten skrev:

1. Rummet av kontinuerliga fkner på en mängd X betecknas C(X). Ingen nolla vare sig upptill eller nertill.

2. Det finns en beteckning C₀ som anger kontinuerliga funktioner f med egenskapen att f(X)—>0 när x—> oändl (egentligen att till varje epsilon finns en kompakt mängd utanför vilken |f| < epsilon)

3. För att definiera derivata behöver man en öppen mängd. I C¹(R) kan man dock definiera höger- och vänsterderivata i en randpunkt, vilket blir svårt i högre dimensioner).

4. Om D_f inte är sammanhängande kan det se ut som att en funktion ”hoppar” fastän den är kontinuerlig.

1. Vad menar du med vare sig nolla nertill eller upptill

2. Vad menar du med "epsilon finns en kompakt mängd utanför vilken |f| < epsilon"

3. Vad är en randpunkt ovh varför måste man ha öppen mängd för att definiera derivatan, aldrig fattat det. Varför kan det inte vara en stängd mängd.

4. Hur hade en sådan funktion ens sett ut. Hur kan den hoppa fast vara kontinuerlig? 

Edit: Ahh vänta på punkt 4 om en definitionsmängden inte är sammanhängande så tar funktionen värden från den mängden lite var som helst men inte alla punkter och egentligen ska grafen se ut att vara kontinuerlig men p.g.a mängden så blir den hackig då? Har jag fattat det rätt?

Sykey skrev:

Trinity2 skrev:

Enbart en klassificering av funktioner. 

AI rapporterar

Såå ju om funktionen är så att säga exempelvis C⁴⁷ så går det att derivera den 47 gånger och dess derivator är kontinuerliga men samtidigt så är dess derivator mjuka (d.v.s har kurvor) och ju mer vi deriverar desto mer kurva får den?

En C^n-funktion kan deriveras n+1 gånger då en C^0 (konstant) funktion också kan deriveras.

Den blir inte "rundare och rundare" med derivering, ett exempel är e^x eller sin(x). e^x är en fin funktion att testa sina hypoteser på. Den är stabil i alla väder och har fina egenskaper.

Trinity2 skrev:

Sykey skrev:

Visa föregående citat

Trinity2 skrev:

Enbart en klassificering av funktioner. 

AI rapporterar

Såå ju om funktionen är så att säga exempelvis C⁴⁷ så går det att derivera den 47 gånger och dess derivator är kontinuerliga men samtidigt så är dess derivator mjuka (d.v.s har kurvor) och ju mer vi deriverar desto mer kurva får den?

En C^n-funktion kan deriveras n+1 gånger då en C^0 (konstant) funktion också kan deriveras.

Den blir inte "rundare och rundare" med derivering, ett exempel är e^x eller sin(x). e^x är en fin funktion att testa sina hypoteser på. Den är stabil i alla väder och har fina egenskaper.

Ahh wow nej du har rätt, e^x är ju alltid samma och sin(x) är lika rund oavsett när den deriveras men skiftar lite bara. Ska skapa en ny tråd vad det gäller visualisering av matte!

Trinity2 skrev:

En C^n-funktion kan deriveras n+1 gånger då en C^0 (konstant) funktion också kan deriveras.

Lite osäker på vad du menar men $C^1$-funktionen $x^{4/3}$ är inte deriverbar 2 gånger. 

D4NIEL skrev:

Trinity2 skrev:

En C^n-funktion kan deriveras n+1 gånger då en C^0 (konstant) funktion också kan deriveras.

Lite osäker på vad du menar men $C^1$-funktionen $x^{4/3}$ är inte deriverbar 2 gånger. 

Här jag deriverade den två gånger

Ja, men vad betyder det att en funktion är deriverbar nu igen? :)

Om $f$ är deriverbar i varje punkt i sin definitionsmängd, dvs $D_{f^\prime}=D_f$, är $f$ en deriverbar funktion.

$f^\prime\left(x\right)=\frac{4}{3}x^{1/3}$ är inte deriverbar eftersom $f^{\prime\prime}$ saknar derivata i $x=0$.

$x^{4/3}\in C^1(\mathbb{R})$
$x^{4/3}\notin C^2(\mathbb{R})$

D4NIEL skrev:

Trinity2 skrev:

En C^n-funktion kan deriveras n+1 gånger då en C^0 (konstant) funktion också kan deriveras.

Lite osäker på vad du menar men $C^1$-funktionen $x^{4/3}$ är inte deriverbar 2 gånger. 

Jag har inte dykt ner i den stringenta def. men jag ansåg att "C^0 är deriverbar 0 gånger" lät som osant. Skulle en konstant inte vara der.bar?

Tja, det går nog inte att sammanfatta på en rad, matematik är sällan så enkelt. Jag tror aldrig jag mött på en funktion i fler-var-analys som fått världen att haverera. Säkerligen andra förutsättningar i högre kurser, men behöver man göra det så komplicerat på denna nivå. Vi är inte filosofer. Jag är säker på att Hörmander skulle skratta rått åt mig. Det tillåter jag. Inkl. om du skrattar. :) Ciao!

D4NIEL skrev:

Ja, men vad betyder det att en funktion är deriverbar nu igen? :)

Om $f$ är deriverbar i varje punkt i sin definitionsmängd, dvs $D_{f^\prime}=D_f$, är $f$ en deriverbar funktion.

$f^\prime\left(x\right)=\frac{4}{3}x^{1/3}$ är inte deriverbar eftersom $f^{\prime\prime}$ saknar derivata i $x=0$. Vi måste alltså skära bort $0$, men då är inte längre definitionsmängderna lika.

$x^{4/3}\in C^1(\mathbb{R})$
$x^{4/3}\notin C^2(\mathbb{R})$

Men jag har aldrig riktigt fattat det. Liksom bara för att EN punkt på HELA grafen inte är deriverbar så blir hela funktionen inte deriverbar? Asså något går inte ihop i min hjärna.

Det beror på att definitionen av deriverbar funktion kräver att man ska kunna derivera funktionen på hela definitionsmängden.

Om du ändrar definitionsmängden så blir saken biff, exempelvis är funktionen $f\left(x\right)=\frac{4}{3}x^{1/3}, x\in (1,3)$ deriverbar på hela sin definitionsmängd.

Man kan krångla till det så här

D4NIEL skrev:

Det beror på att definitionen av deriverbar funktion kräver att man ska kunna derivera funktionen på hela definitionsmängden.

Om du ändrar definitionsmängden så blir saken biff, exempelvis är funktionen $f\left(x\right)=\frac{4}{3}x^{1/3}, x\in (1,3)$ deriverbar på hela sin definitionsmängd.

Man kan krångla till det så här
$\[\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Funktion} & \text{Regularitet} \\\hlinex^{4/3},\; x\in\mathbb{R} & C^1 \text{ men inte } C^2 \\\hlinex^{4/3},\; x\in(0,\infty) & C^\infty \\\hlinex^{1/3},\; x\in\mathbb{R} & \text{deriverbar men inte } C^1 \\\hlinex^{1/3},\; x\in(1,3) & C^\infty \\\hline\end{array}\]$

Huh? Vad är hline?

Edit: Också det visste inte jag att den behövde vara deriverbar på HELA sin definitonsmängd för att vara deriverbar

\hline är "horizontal line" i LaTeX-tabeller. Ett tolkningsproblem på PA.

D4NIEL skrev:

Det beror på att definitionen av deriverbar funktion kräver att man ska kunna derivera funktionen på hela definitionsmängden.

Om du ändrar definitionsmängden så blir saken biff, exempelvis är funktionen $f\left(x\right)=\frac{4}{3}x^{1/3}, x\in (1,3)$ deriverbar på hela sin definitionsmängd.

Man kan krångla till det så här

Man ser genomgående en viss brist i många gym.böcker och NP ang. def.mängder. Det verkar inte populärt att ange ens för enklare problem. T.ex. "Poputionen följer modellen y=3e^x." Alla "vet" att x≥0, men varför skriver inte böckerna ut det. De spenderar sidor och timmar på att prata om def.mängder och värdemängder, för att sedan glömma all de sagt och köra på resterande 3 år utan att skriva något om det. Vad är då eg. meningen med sådana avsnitt i Ma1, om det ändå, även på NP-nivå, ignoreras. Man skall kanske läsa mycket "mellan raderna" och säga "Det löser sig säkert ändå". Och i många fall gör de det... 

Vidare, det är klart att

y'=-4y

ser snyggare ut än

y'(x)=-4y(x)

men vad säger du, från en _avsevärt_ högre nivå, ang. detta "reducerade" beteckningssätt. Är det lämplig pedagogik? 

D4NIEL skrev:

Det beror på att definitionen av deriverbar funktion kräver att man ska kunna derivera funktionen på hela definitionsmängden.

Om du ändrar definitionsmängden så blir saken biff, exempelvis är funktionen $f\left(x\right)=\frac{4}{3}x^{1/3}, x\in (1,3)$ deriverbar på hela sin definitionsmängd.

Man kan krångla till det så här

Okej så du menar:

1. att derivatan är kontinuerlig och existerar men att C² inte existerar om den är definerad för hela reella tallinjen. Behöver man ens specifiera att den inte är C²? Att den är C¹ medför väl att den inte är något annat?

2. Nästa, vi kan derivera hur många gånger som helst från 0 till infinity, I DET ÖPPNA INTERVALLET?

3. Så vi kan derivera men den är inte C¹, är den då C⁰ eftersom deriverbar --> kontinuerlig. Venne om jag riktigt hänger med på denna.

4. Samma resonemang som punkt 2 antar jag 

Trinity2 skrev:

D4NIEL skrev:

Det beror på att definitionen av deriverbar funktion kräver att man ska kunna derivera funktionen på hela definitionsmängden.

Om du ändrar definitionsmängden så blir saken biff, exempelvis är funktionen $f\left(x\right)=\frac{4}{3}x^{1/3}, x\in (1,3)$ deriverbar på hela sin definitionsmängd.

Man kan krångla till det så här

Man ser genomgående en viss brist i många gym.böcker och NP ang. def.mängder. Det verkar inte populärt att ange ens för enklare problem. T.ex. "Poputionen följer modellen y=3e^x." Alla "vet" att x≥0, men varför skriver inte böckerna ut det. De spenderar sidor och timmar på att prata om def.mängder och värdemängder, för att sedan glömma all de sagt och köra på resterande 3 år utan att skriva något om det. Vad är då eg. meningen med sådana avsnitt i Ma1, om det ändå, även på NP-nivå, ignoreras. Man skall kanske läsa mycket "mellan raderna" och säga "Det löser sig säkert ändå". Och i många fall gör de det... 

Vidare, det är klart att

y'=-4y

ser snyggare ut än

y'(x)=-4y(x)

men vad säger du, från en _avsevärt_ högre nivå, ang. detta "reducerade" beteckningssätt. Är det lämplig pedagogik? 

Jag tycker personligen att det inte skadar att lägga till det eftersom jag tycker det förtydligar mer också vilken variabel det rör sig och vilken definitonsmängd det berör. Liksom att man inte kan vara övertydlig liksom.

1. Ja. Alla $C^2$-funktioner är automatiskt $C^1$, men inte alla $C^1$ är $C^2$.

2. Ja, eftersom vi "tagit bort" den problematiska punkten 0 får vi en deriverbar andraderivata

3. är inte deriverbar, skrev fel i hastigheten :). Har uppdaterat tabellen

En av de mest lömska och luriga sakerna med analys är att man som definitionsmängd ska anta den största möjliga mängd där uttrycket är väldefinierat som reell funktion om ingen $D_f$ är angiven.

Så enligt analysmänniskor har funktionen $x^{4/3}$ utan definitionsmängd automatiskt definitionsmängden $\mathbb{R}$

Samtidigt har funktionen $f(x)=\frac{1}{x}$ automatiskt definitionsmängden $\mathbb{R}\setminus{0}$, vilket innebär att den är deriverbar på hela sin definitionsmängd -> deriverbar funktion! Dessutom är derivatorna kontinuerliga vilket medför att den är $C^\infty$ (även om ingen definitionsmängd anges).

Vill också poängtera $C^1$ kräver både att derivatan existerar OCH att den är kontinuerlig.  Det räcker alltså inte bara med deriverbarhet.

Vidare, det är klart att

y'=-4y

ser snyggare ut än

y'(x)=-4y(x)

men vad säger du, från en _avsevärt_ högre nivå, ang. detta "reducerade" beteckningssätt. Är det lämplig pedagogik? 

Jag vill inflika lite här och säga att jag hatar det övre skrivsättet. Det finns en viktig skillnad mellan en funktion $f$ och funktionens definition genom en formel $y=f\left(x\right)$. Detta blev tydligt för mig först efter gymnasiet och jag tror att anledningen till detta var att man blandade notation lite hejvilt på gymnasiet.

Dessutom har jag sett notation som $h=f\cdot g$ istället för $h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$... Horribelt!

Om C^k är våran klass och k>=2 så använder man Clairots sats som säger i vilken ordning den partiella deriveringen ska ske i såg jag nyss.