Vad är det egentligen vi gör när vi löser "ekvationer"?

Hej!

Jag har en ganska kort fråga som kanske eller kanske inte kommer från att jag är trött. På vägen till mina föreläsningar imorse funderade jag på vad det är man faktiskt gör formellt när man "löser en ekvation", och för enkelhetens skull kanske vi kan jobba med $\mathbb{N}$ i den här tråden. Jag tänker att ett av de många ekvivalenta sätten att definiera likhet på $\mathbb{N}$ är, för alla $a,b\in\mathbb{N}$ :

$\displaystyle a=b\Longleftrightarrow \neg \left(a< b\; \text{eller}\; a >b \right)$

där olikhet definieras på det typiska sättet som $\displaystyle a< b \Longleftrightarrow a\in b$ .

Låt oss anta att vi studerar en "ekvation" som $x+2=2x+1$ där $x\in\mathbb{N}$ . Då kan vi dra en rad slutsatser. Vi kan exempelvis dra slutsatsen att vi även har $x+1=2x$ , eller exempelvis $x=1$ (vilket "löser" ekvationen). Jag antar att detta är deduktion baserad på definitionen av $=$ ? Alltså, att vi på något sätt deducerar exempelvis att $x+2=2x+1 \Longrightarrow x+1=2x$ , eller mer formellt att $(x+2,2x+1)\in = \Longrightarrow (x+1,2x)\in =$ ?

En ytterligare fråga jag tänkte på i samband med ovanstående är varför man inte får multiplicera med noll för att visa att två kvantiteter är "samma". Om vi ska visa att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ kan vi behandla de enskilda leden för sig och visa att man kan "gå mellan dem" genom samma typ av deduktion som nämndes ovan. Innebär detta helt enkelt att vi söker gemensamma element i ekvivalensklasserna $[(a+b)^2]_{=}$ och $[a^2+2ab+b^2]_{=}$ (vilket betyder att de är samma klass)? Denna procedur hade kanske "pajat" om man försökte multiplicera med noll.

En ekvation är ett förhållande mellan kvantiteter; att lösa den är att identifiera vilka värden de okända kvantiteterna har för att förhållandet skall stämma.

Man får visst multiplicera båda leden med 0, nackdelen är dock bara den att man kommer få en ekvation som inte hjälper en att identifiera de okända kvantiteternas värden.

På samma sätt, om VL = HL så måste även VL/VL = HL/HL (förutsatt att båda leden är nollskilda) eller 1 = 1 vilket inte heller hjälper en att identifiera de okända värdena i ekvationen.

Då vi går från x+2 = 2x+1 till x+1 = 2x så låter vi likhet bestå mellan högerled och vänsterled genom att utföra samma matematiska operation på båda leden: subtraktion med 1. Vi får då x+2-1 = 2x+1-1, inser att vissa av de kända kvantiteterna kan förenklas och skriver x+1 = 2x. Eftersom vi gjorde hela operationen för att få ett uttryck där de okända kvantiteterna är så enkelt beskrivna som möjligt och vi nu har gått från två led med både okända värden och konstanter till ett led fritt från konstanter har vi gjort det enklare för oss.

Hej, tack för ditt svar!

Detta är inte riktigt det svar jag söker. Det jag undrar är varför ”likhet bevaras” om man utför samma operation på båda sidor. Denna implikation borde gå att härleda ur definitionen till ”=”.

Det jag undrade med noll var en dum fråga. Jag vet inte riktigt hur jag tänkte där. Däremot kvarstår den övergripande frågan om vad vi gör när vi visar att två led är lika genom att manipulera leden för sig. Det känns om om det vi gör är att vi ”letar” i ekvivalensklassen för vardera uttryck tills vi hittar en gemensam representant, vilket innebär att ekvivalensklasserna är samma. Eller något i den stilen.

Vet inte riktigt om detta är det du söker, men jag har alltid sett det som att man applicerar en injektion på båda sidor. Om $f$ injektiv har vi ju att $a=b \iff f(a) = f(b)$ . När vi exempelvis adderar $c$ på båda sidor applicerar vi alltså funktionen $x\to x+c$ , som är en injektion.

När vi skapar ekvivalensklasser bestämmer vi vilka element i en mängd $A$ som ska klumpas ihop och betraktas som lika. Om systemet $S$ av klumpar (icke-tomma mängder) "täcker hela $A$ ", dvs

$\cup S = A$ samtidigt som $C\in S$ och $D\in S$ med $C\neq D$ medför att $C\cap D= \emptyset$

säger vi att $S$ är en partition av $A$ . En relation $E$ på $A$ som är reflexiv, symmetrisk och transitiv kallas en ekvivalensrelation på $A$ . Systemet av alla ekvivalensklasser modulo $E$ tecknas $A/E=\{[a]_E | a\in A\}$ . Man kan visa att $A/E$ är en partition av $A$ . Omvänt gäller också att då $S$ är en partition av $A$ så är

$E_S = \{(a,b) \in A \times A \mid \exists C \in S \; (a \in C \land b \in C) \}$

en ekvivalensrelation på $A$ .

Det finns två extremfall av partitioner. Den minimala partitionen är när hela mängden är samma klump (dvs alla är lika med alla). Den maximala partitionen är den du använder i den här tråden, då är varje tal sin egen klass. Partitionen blir oändligt många små singletoner

$\{\{0\}, \{1\}, \{2\}, \dots\}$

Det innebär att du fortfarande betraktar varje naturligt tal som ett eget tal och det påverkar inte hur ekvationen fungerar alls.

Men om vi skulle byta ut talen mot ekvivalensklasser (med en mer intressant partition) blir ekvationen

$[x]+[2]\equiv[2x]+[1]$

Då måste vi vara säkra på att operationerna vi tänker använda för att lösa ekvationen är kompatibla med (kongruenta med) ekvivalensrelationen. Till exempel för "+"

$a \equiv a^\prime, b\equiv b^\prime \implies a+b\equiv a^\prime+b^\prime$

Det enklaste exemplet är modulär aritmetik som du säkert stött på redan under gymnaisetiden

$a\sim b \leftrightarrow a\equiv b\quad \mod{n}$

Du kan till exempel testa att lösa din ekvation restklass 5 ( $\mathbb{N}$ modulo 5)

$x+2\equiv 2x +1\mod{5}$

Det man egentligen gjorde på gymnasiet med modulär aritmetik var alltså att införa partitionsstrukturen

$(\mathbb{N},+,\cdot)\to (\mathbb{N}/E,+,\cdot)$

med de inducerade operationerna (projektionen $a\to [a]$ som homomorfi). En partition tillåter "ekvationslösning" exakt när relationen är en kongruens med avseende på operationerna.

Svara

Visa senaste svar