12 svar
47 visningar
naytte är nöjd med hjälpen
naytte 3992 – Tillträdande Moderator
Postad: 23 apr 18:15 Redigerad: 23 apr 18:17

Vad är det för acceleration jag har härlett?

Hej!

Jag har suttit och trixat lite med olika uttryck för fjäderkraft och jag har härlett en formel för någon slags acceleration, men jag förstår inte vad det är för acceleration. 

Antag att vi har en vertikal fjäder som hänger från ett tak. Om vi hänger en vikt i denna fjäder kommer fjädern förlängas sträcka Δl\Delta l och vi erhåller följande samband:

kΔl=mg\displaystyle k\Delta l = mg

Om man sedan tänker sig att man trycker ihop eller förlänger fjädern en sträcka l'l ', kan man visa att kraftsumman som verkar på vikten är F=kl'F=kl'. Om vi substituerar kk mot mω2m\omega^2 erhåller vi:

F=mω2l'\displaystyle \sum_{}^{}F=m\omega^2 l'.

l'l' kommer ju dessutom vara amplituden på svängningsrörelsen som uppstår när vi släpper vikten så vi kan skriva:

F=mω2A\displaystyle \sum_{}^{}F=m\omega^2 A

Eftersom vänsterledet är en kraft kan vi dela med mm och då får vi en acceleration:

a=ω2A\displaystyle a=\omega^2 A


Mitt problem nu är att jag inte förstår vilken acceleration det här är. Kraften jag har räknat på är visserligen ytterläget i svängningsrörelsen, men kraftsumman är ju egentligen bara beroende av l'l', som man kan välja till precis vad man vill. 

Kan man använda denna formel för att även räkna på accelerationen i vilken punkt man vill? Accelerationen är väl bara beroende av utsträckningen på fjädern (eller ihoptryckningen), eller hur? Kan man se formeln ovan som en funktion a((t))=ω2(t)a(\ell(t))=\omega^2 \ell(t), där (t)\ell(t) är avståndet från jämviktsläget vid en given tidpunkt?

PATENTERAMERA 5510
Postad: 23 apr 18:29

Ja, fast man får vara försiktig med tecken.

Jag brukar införa en x-axel (riktad uppåt) med origo (x = 0) i jämviktsläget där tyngdkraft och fjäderkraft balanserar varandra.

Då gäller

Fres = -kx

Fres = Ffjäder - mg.

Så axd2xdt2 = -ω2x.

Tack!

Jag räknade bara på storlekar och inte på riktning, om jag hade gjort det mer "rigoröst" hade jag fått med även det.

PATENTERAMERA 5510
Postad: 23 apr 18:32

Toppen.

naytte 3992 – Tillträdande Moderator
Postad: 23 apr 18:49 Redigerad: 23 apr 18:50

Om jag får lov att ställa en följdfråga, hur använder du dig av derivata för att komma fram till uttrycket? Jag är med på att andraderivatan av sträcka med avseende på tid är acceleration, men när jag försöker replikera det får jag bara 1=11=1:

F=-kx(t)=Fs+Fgx(t)=-1k(Fs+Fg)\displaystyle \textbf{F}=-k\textbf{x}(t)=\textbf{F}_s+\textbf{F}_g\iff \textbf{x}(t)=-\frac{1}{k}(\textbf{F}_s+\textbf{F}_g)

När jag deriverar det sambandet en gång med avseende på tt så får jag bara 1=11=1. Vilken funktion utgår du ifrån när du skriver att andraderivatan är accelerationen?

PATENTERAMERA 5510
Postad: 23 apr 19:12

Jag använde bara definitionen av acceleration

ax d2xdt2.

Och sedan kombineras det med Newtons andra lag.

ax = Fres/m = (-k/m)x = -ω2x.

naytte 3992 – Tillträdande Moderator
Postad: 23 apr 20:12 Redigerad: 23 apr 20:13

Ah, okej, så det är inte en härledning utan bara en tillämpad definition?

Nu när jag har fyllt på glykogenförråden lite kan man väl göra så här:

x=Asinωtd2xdt2=-ω2Asinωt=-ω2x\displaystyle x=A\sin{\omega t}\implies\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2A\sin{\omega t}=-\omega^2x

Men här har jag inte räknat med några vektorer. Jag antar att xx egentligen ska vara en lägesvektor men jag förstår inte vad som skulle vara en vektor i uttrycket AsinωtA\sin{\omega t}.

PATENTERAMERA 5510
Postad: 23 apr 20:36 Redigerad: 23 apr 20:36

Eftersom vi kan se det hela som en rörelse längs en x-axel så kan vi skriva lägesvektorn som

r=xex, där ex är en enhetsvektor riktad längs x-axeln.

a=d2rdt2=d2xdt2ex

Fres=Fresex

ma=Fresd2xdt2=Fres/m

Ja okej, då tror jag att jag är med. Menar du att man gör så här?:

md2xdt2ex=Fresexmd2xdt2=Fresd2xdt2=Fres/m\displaystyle m\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_x=F_{res}\vec{e_x}\iff m\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=F_{res}\iff \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=F_{res}/m

PATENTERAMERA 5510
Postad: 23 apr 22:44

Jepp.

naytte 3992 – Tillträdande Moderator
Postad: 23 apr 22:46 Redigerad: 23 apr 22:46

Okej, och vi vet dessutom att Fres=-kx(t)F_{res}=-kx(t) och då ser vi att a(t)=-ω2x(t)ex\vec{a}(t)=-\omega^2 x(t)\vec{e_x}, eller hur?

PATENTERAMERA 5510
Postad: 23 apr 22:47

Jepp.

Okej, då är jag med! Tack så mycket för hjälpen!

Svara Avbryt
Close