Vad är det för acceleration jag har härlett?

Hej!

Jag har suttit och trixat lite med olika uttryck för fjäderkraft och jag har härlett en formel för någon slags acceleration, men jag förstår inte vad det är för acceleration.

Antag att vi har en vertikal fjäder som hänger från ett tak. Om vi hänger en vikt i denna fjäder kommer fjädern förlängas sträcka $\Delta l$ och vi erhåller följande samband:

$\displaystyle k\Delta l = mg$

Om man sedan tänker sig att man trycker ihop eller förlänger fjädern en sträcka $l '$ , kan man visa att kraftsumman som verkar på vikten är $F=kl'$ . Om vi substituerar $k$ mot $m\omega^2$ erhåller vi:

$\displaystyle \sum_{}^{}F=m\omega^2 l'$ .

$l'$ kommer ju dessutom vara amplituden på svängningsrörelsen som uppstår när vi släpper vikten så vi kan skriva:

$\displaystyle \sum_{}^{}F=m\omega^2 A$

Eftersom vänsterledet är en kraft kan vi dela med $m$ och då får vi en acceleration:

$\displaystyle a=\omega^2 A$

Mitt problem nu är att jag inte förstår vilken acceleration det här är. Kraften jag har räknat på är visserligen ytterläget i svängningsrörelsen, men kraftsumman är ju egentligen bara beroende av $l'$ , som man kan välja till precis vad man vill.

Kan man använda denna formel för att även räkna på accelerationen i vilken punkt man vill? Accelerationen är väl bara beroende av utsträckningen på fjädern (eller ihoptryckningen), eller hur? Kan man se formeln ovan som en funktion $a(\ell(t))=\omega^2 \ell(t)$ , där $\ell(t)$ är avståndet från jämviktsläget vid en given tidpunkt?

Ja, fast man får vara försiktig med tecken.

Jag brukar införa en x-axel (riktad uppåt) med origo (x = 0) i jämviktsläget där tyngdkraft och fjäderkraft balanserar varandra.

Då gäller

F_res = -kx

F_res = F_fjäder - mg.

Så a_x = $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ = - $ω^{2}$ x.

Tack!

Jag räknade bara på storlekar och inte på riktning, om jag hade gjort det mer "rigoröst" hade jag fått med även det.

Toppen.

Om jag får lov att ställa en följdfråga, hur använder du dig av derivata för att komma fram till uttrycket? Jag är med på att andraderivatan av sträcka med avseende på tid är acceleration, men när jag försöker replikera det får jag bara $1=1$ :

$\displaystyle \textbf{F}=-k\textbf{x}(t)=\textbf{F}_s+\textbf{F}_g\iff \textbf{x}(t)=-\frac{1}{k}(\textbf{F}_s+\textbf{F}_g)$

När jag deriverar det sambandet en gång med avseende på $t$ så får jag bara $1=1$ . Vilken funktion utgår du ifrån när du skriver att andraderivatan är accelerationen?

Jag använde bara definitionen av acceleration

a_x $\equiv$ $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ .

Och sedan kombineras det med Newtons andra lag.

a_x = F_res/m = (-k/m)x = - $ω^{2}$ x.

Ah, okej, så det är inte en härledning utan bara en tillämpad definition?

Nu när jag har fyllt på glykogenförråden lite kan man väl göra så här:

$\displaystyle x=A\sin{\omega t}\implies\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2A\sin{\omega t}=-\omega^2x$

Men här har jag inte räknat med några vektorer. Jag antar att $x$ egentligen ska vara en lägesvektor men jag förstår inte vad som skulle vara en vektor i uttrycket $A\sin{\omega t}$ .

Eftersom vi kan se det hela som en rörelse längs en x-axel så kan vi skriva lägesvektorn som

$\vec{r} = x {\vec{e}}_{x}$ , där ${\vec{e}}_{x}$ är en enhetsvektor riktad längs x-axeln.

$\vec{a} = \frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} {\vec{e}}_{x}$

${\vec{F}}_{r e s} = F_{r e s} {\vec{e}}_{x}$

$m \vec{a} = {\vec{F}}_{r e s} \Leftrightarrow \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = F_{r e s} / m$

Ja okej, då tror jag att jag är med. Menar du att man gör så här?:

$\displaystyle m\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_x=F_{res}\vec{e_x}\iff m\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=F_{res}\iff \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=F_{res}/m$

Jepp.

Okej, och vi vet dessutom att $F_{res}=-kx(t)$ och då ser vi att $\vec{a}(t)=-\omega^2 x(t)\vec{e_x}$ , eller hur?

Jepp.

Okej, då är jag med! Tack så mycket för hjälpen!

Svara Avbryt

Visa senaste svar