Vad är diskret och abstrakt matematik?

Diskret matematik förknippar jag i första hand med matematik på  mängder med ändligt många element. Dock kan andra mängder också förekomma t ex om topologin är diskret, dvs att varje punkt är sin egen omgivning. Ett annat exempel är Boolsk algebra ("nollor och ettor") som kan räknas till diskret matematik.

Abstrakt matematik är mig veterligen inget särskilt område inom matemtiken utan mer ett omdöme som motsatsen till Konkret. Abstraktioner är rikligt förekommande i matematiken. Redan i grundskolan t ex när man går från från att räkna med angivna naturliga tal 1,2,... till att använda bokstäver.

Så diskret matematik = matte 5 typ?

Vad är topologi? Får mig att tänka på euklediska former (venne vad det är heller).

Vad är boolsk algebra?

Hur är det möjligt att varje punkt är sin egen omgivning? En punkt är ju bara en punkt tänker jag.

Hmm jag hänger inte riktigt med på vad abstrakt matematik är (eller abstraktioner för den sakens skull). 

Vänta snabb fråga:

Varför heter de diskret och abstrakt matematik först och främst?

Diskret innebär att vi har något indelat i separata enheter. 

Till exempel talen $\{1,2,3\}$. Jämför det med det kontinuerliga intervallet $[1,3]$ som innehåller oändligt många tal mellan 1 och 3, t.ex. talet $1.3923882$ som inte finns med i den diskreta mängden.

Diskret matematik är studiet av matematiska strukturer som är ändliga eller uppräkneligt oändliga, det vill säga strukturer som inte är kontinuerliga.

Diskret matematik står alltså i kontrast till kontinuerlig matematik, som handlar om saker som kan anta alla värden inom ett intervall, t.ex. analys, differentialekvationer eller sannolikhetsfördelningar på reella tal. 

När vi ska analysera kontinuerliga processer, till exempel mätdata från fysikaliska experiment, måste vi ofta diskretisera datamängderna så vi kan få in dem i våra datorer. Istället för att spara oändligt många observationer mellan tidpunkterna $1$ och $2$ får vi kanske nöja oss med att spara 1000 värden, ett värde varje millisekund. 

Ahh okej, det make:ar sense. Så man kan räkna på de, 1,2,3,4... osv

D4NIEL skrev:

När vi ska analysera kontinuerliga processer, till exempel mätdata från fysikaliska experiment, måste vi ofta diskretisera datamängderna så vi kan få in dem i våra datorer. Istället för att spara oändligt många observationer mellan tidpunkterna $1$ och $2$ får vi kanske nöja oss med att spara 1000 värden, ett värde varje millisekund. 

Kanske i framtiden så kommer datorerna vara så starka att vi inte kommer behöva diskretisera datamängderna? ... kanske... oändligt är ganska stort dock lol

Det kan ju vara så att tiden är kvantiserad och bara "finns" i diskreta steg, ungefär som energin är kvantiserad. Att det finns ett minsta tillåtet tidsintervall. Då behöver vi inte mäta oändligt många gånger mellan 1 och 2. Det kanske bara finns ett ändligt antal möjliga observationer att göra :-)

Verkligheten kanske inte alls är kontinuerlig utan diskret!

https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra

Man måste också skilja på vad saker ”är” och vad våra modeller kräver att de ska vara.

I teoretisk kemi studerar man exempelvis ofta objekt som infinitesimala förändringar i substansmängder för något species $\mathrm{R}$, $dN_\mathrm{R}$ eller förändringar i koncentration $d[\mathrm{R}]$. Vad betyder det att variera en i verkligheten diskret variabel (substansmängd, koncentration) infinitesimalt? Ingenting. Slutsatsen är alltså att det vi räknar med är kontinuerliga proxys för de verkliga storheterna. Samma sak gäller kanske tiden i fysiken.