Vad är fel i mitt resonemang?

Du tänker fel när du antar att de enskilda termerna undantagslöst ska förhålla sig som $6:7$

T.ex. är

$\displaystyle \frac{7}{6}=\frac{21}{18}=\frac{5+16}{1+17}$

Men ingen av de enskilda termerna förhåller sig till någon annan i förhållandet $6:7$

WolframAlpha fick hela ekvationen, och jag tycker särskilt att den översta av "alternate forms" ser ganska snygg ut. Jag kan inte komma på hur man kommer dit från ursprungsekvationen...

Jo: Ursprungsekvationen är

$\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\frac{7}{6}$     Addera 1 på båda sidor (eftersom jag vet att HL är 13/6 efter omskrivningen)

$\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}+\frac{12^x+18^x}{12^x+18^x}=\frac{13}{6}$     skriv om på samma bråkstreck

$\frac{8^x+27^x+12^x+18^x}{12^x+18^x}=\frac{13}{6}$ Faktorisera täljaren och nämnaren

$\frac{(2^x+3^x)(3^{2x}+3^{2x})}{6^x(2^x+3^x)}=\frac{13}{6}$      förkorta bort faktorn (2^x+3^x)

$\frac{2^{2x}}{2^x3^x}+\frac{3^{2x}}{2^x3^x}=\frac{13}{6}$      förkorta och förenkla

$(\frac{2}{3})^x+(\frac{3}{2})^x=\frac{13}{6}$

En annan möjlig väg är att skriva om alla potenser i uttrycket med basen 2 resp 3

För att sedan dividera alla termer med $3^x och sedan bilda kvoten \frac{2^x}{3^x}={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$

Denna ekvation kan sedan lösas

Henning skrev:

En annan möjlig väg är att skriva om alla potenser i uttrycket med basen 2 resp 3

För att sedan dividera alla termer med $3^x och sedan bilda kvoten \frac{2^x}{3^x}={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$

Denna ekvation kan sedan lösas

Hur skulle du skriva om 18 och 12 med de baserna?

$18^x=(2\cdot3\cdot3)^x=2^x 3^x3^x$

${12}^x={(2^2·3)}^x=2^{2x}·3^x$

${18}^x={(2·3^2)}^x=2^x·3^{2x}$

Om vi nu utgår från uttrycket $6(8^x+{27}^x)=7({12}^x+{18}^x)$

Och omvandlar termerna till basen 2 resp 3 blir det: $6·({\left(2^x\right)}^3+{\left(3^x\right)}^3) = 7·({\left(2^x\right)}^2·3^x+2^x·{\left(3^x\right)}^2)$

Dividerar vi sedan alla termer med ${\left(3^x\right)}^3$

så får vi efter förkortningar  $6·(\frac{{\left(2^x\right)}^3}{{\left(3^x\right)}^3}+1) =7·(\frac{{\left(2^x\right)}^2·3^x}{{\left(3^x\right)}^3} +\frac{2^x·{\left(3^x\right)}^2}{{\left(3^x\right)}^3})$

Förkortning och omskrivning ger: $6·({\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x}+1) = 7·({\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^x)$

Sätt nu $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$

Ger $6·(t^3+1)=7·(t^2+t)$

Vi kan använda följande faktoriserings-formel: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Och får då uttrycket : $6(t^2-t+1)=7t$

pq-formeln ger lösningarna - $t_1=\frac{3}{2}samt t_2=\frac{2}{3}$

Återvänder vi till variabel x har vi nu ekvationerna  ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{3}{2} vilket ger x·\ln \frac{2}{3}=\ln \frac{3}{2}\Rightarrow x=-1$

Samt ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x·\ln \left(\frac{2}{3}\right)=\ln \frac{2}{3}\Rightarrow x=1$

Sista stegen kan i detta fall kanske enklare lösas med identifiering

Vi har ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{3}{2}\Rightarrow {\left(\frac{2}{3}\right)}^x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\Rightarrow x=-1$

Samt ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=1$

Henning skrev:

Sista stegen kan i detta fall kanske enklare lösas med identifiering

Vi har ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{3}{2}\Rightarrow {\left(\frac{2}{3}\right)}^x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\Rightarrow x=-1$

Samt ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=1$

Tack så mycket för den utförliga förklaringen!