Vad är grejen med egenfunktioner och egenvärden då vi löser differentialekvationer+relaterad fråga?

Hej!

Jag ska tillstå att jag inte ännu har befattat mig mycket med teorin, men jag skulle ändå vilja ställa denna fråga för att få ett hum om varför man är så intresserad av detta. Jag går en kurs i Fourieranalys nu och i många PDEs och ODEs är vi väldigt intresserade av "egenvärden" och "egenfunktioner".

Är anledningen till att man är så intresserad av dem att egenfunktionerna (som ofta har egenvärdena i sina argument) spänner upp lösningsrummet till vår differentialekvationer? Gäller detta endast vissa typer av differentialekvationer?

Jag hade också en relaterad fråga gällande lösnigsförfarandet av vissa (P)DEs. Vi kan ta differentialekvationen nedan som exempel:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}f''+\lambda f=0 \f(0)=0\f(2)=f^\prime(2)=0\end{array}\right.$

I fallet då $\lambda =0$ brydde vi oss inte om lösningarna eftersom de inte utgjorde "egenfunktioner" (alltså inte spelar någon roll för basen till lösningsrummet då antar jag?). Om $\lambda \ne 0$ får vi snabbt en allmän lösning:

$\displaystyle f\left(x\right)=A\cosh\left(x\sqrt{-\lambda}\right)+B\sinh\left(x\sqrt{-\lambda}\right)$

Initialvillkor ger $A=0$. Nu är det så att vår övningsledare påstod att vi kan bestämma att $B=1$ eftersom alla skalärmultiplar av $f$ är linjärt beroende "i vårt $\mathcal{L}^{\; 2}$-rum". Vad menar han med det? Vad har $\mathcal{L}^{\;2}$ med detta att göra?