Vad är grejen med egenfunktioner och egenvärden då vi löser differentialekvationer+relaterad fråga?

Det var länge sedan jag läste ODE (för Nisse Nilsson, en mästare på just detta), men jag tror man vill diagonalisera dem och på så sätt få enkla lösningar. LuMa vet säkert allt om detta.

bump

En väldigt bred klass av differentialekvationer kallas Sturm-Liouvilleproblem om man kan skriva dem på formen

$L(f)+\lambda w f=0,\quad B_1(f)=B_2(f)=0$

där $\lambda$ är en godtycklig konstant. För de flesta problem är $f(x)\equiv 0$ den enda möjliga lösningen, men för icke-triviala lösningar bildar $\lambda$ ett egenvärde med korresponderande egenvärdeslösningar. Notera att vi har

$L(f)=-\lambda w f \implies -w^{-1}L(f)=\lambda f$

vilket betyder att egenvärdena gäller operatorn $-w^{-1}L$. Operatorn $L(f)$ definieras som $(rf^\prime)^\prime+pf$ och är självadjungerad i $\mathcal{L}^{\,\,\,2}_w$ . För ett (icke-singlulärt) Sturm-Liouvilleproblem gäller att:

• Alla egenvärden är reella.
• Egenfunktioner hörande till olika egenvärden är ortogonala (med avseende på $w$).
• Egenrummet för ett egenvärde $\lambda$ har som mest två dimensioner. Om randvillkoren är separerade är varje egenvärdesrum endimensionellt.

Ett egenvärdesrum består av $\mathbf{0}$-vektorn och korresponderande egenvektorer. Det är ett linjärt rum i vanlig mening och varje linjärkombination av funktioner $f$ och $g$, till exempel $c_1f+c_2g$, är därmed också en lösning, (superpositionsprincipen).

Man kan visa att på varje intervall $[a,b]$ finns en ortonormal bas $\{\phi_n\}_1^\infty$ för $\mathcal{L}^{\,\,\,2}_w(a,b)$ som spänns av egenfunktioner. Givet randvillkoren $B_1(f)=B_2(f)=0$ samt $f\in C^2[a,b]$ konvergerar serien $\sum <f,\phi_n>\phi_n \to f$ likformigt.

Det exempel du tar upp är överbestämt och endast lösbart för $f\equiv 0$, men jag misstänker att du skrivit fel och egentligen avser problemet

$f^{\prime \prime}+\lambda f=0,$

$f(0)=0,\quad f(2)-f^\prime(2)=0$

Det är ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem med $r(x)=1$, $q(x)=0$ och viktfunktionen $w=1$. Fallet $\lambda=0$ ger ekvationen $f^{\prime\prime}=0$ vilket med insatta randvillkor ger den triviala lösningen $f(x)\equiv 0$.

För $\lambda <0$ får vi egenfunktioner på formen $f_n(x)=\sinh(\mu_n c)$ ($\lambda_n = -\mu^2_n$). Ibland måste man normalisera lösningarna, dvs $\| f\|^2_w$  med avseende på randvillkoren. I ditt exempelfall spelar normeringen ingen roll. Du får sätta $B$ till vad du vill, det är ju bara en normering av basvektorn, du måste inte göra den ortonormal.

Edit: Slutligen, för $\lambda >0$ (med $\lambda_n=\mu^2_n$) får man egenfunktioner på formen $f_n(x)=\sin(\mu_n x)$. 

Tack för det utförliga svaret!

Jag är fortfarande inte riktigt med på varför vi är så intresserade av L² när vi löser ekvationen. Kan det inte finnas lösningar som t.ex. ligger utanför L² på det intervall vi studerar? Här är ett utdrag ur vår kurslitteratur där funktionen beskriver en vibrerande sträng med lämpliga initialvillkor:

Så som jag förstår det nu är vi särskilt intresserade av just L² eftersom vi kan bestämma koefficienterna $a_n$ och $b_n$ genom att jämföra vår funktion $u$ med "rätt" Fourierserie i L² givet initialvillkor $u(x,0)=f(x)$. Är det rätt uppfattat?

Vi vill väldigt gärna ha ett vektorrum som vi kan låta våra funktioner och fourierserier verka i. Bland annat vill vi kunna definiera likhet, konvergens i norm och så vidare. Koncept som varit så framgångsrika i andra sammanhang (till exempel linjär algebra och vektoranalys!).

Frågan är vilket vektorrum vi ska välja? En första tänkbar kandidat kan vara $\mathrm{PC}(a,b)$, dvs rummet av alla styckvist kontinuerliga funktioner på intervallet $[a,b]$. Det visar sig att vi bland annat kan använda det rummet för att definiera konvergens i norm. Men det visar sig också att det valda rummet har en fruktansvärd nackdel, det är inte komplett! Med komplett menar vi att varje Cauchysekvens av funktioner i rummet ska har ett gränsvärde.  

Men till vår förfäran visar det sig alltså  att man kan konstruera Cauchysekvenser av styckvist kontinuerliga funktioner som konvergerar mot funktioner som inte längre är styckvist kontinuerliga. Och det är ju lite av en bummer.

Som tur är, och som vi förmodligen redan känner till, kan vi använda Lebesgueintegralen för att definera $L^2(a,b)$ med skalärprodukten $<f,g>=\int_a^b\, f(x)\bar{g(x)}\,\mathrm{d}x$ och har då ett nytt, bättre funktionsrum, som är Cauchykomplett. 

Så jag skulle säga att främsta anledningen till att vi gillar $L^2(a,b)$ är att det är ett komplett rum.

Skalärprodukten $< f,g>=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}\,dx$ gör det möjligt att bestämma Fourierkoefficienterna som projektioner, $c_n=\langle f,\varphi_n\rangle$. Fullständigheten garanterar att projektionssumman konvergerar till en funktion i samma rum. Utan fullständighet skulle Fourierutvecklingen som sagt kunna konvergera mot något som inte längre tillhör funktionsrummet.

Men det här rummet med tillhörande standarddefinitioner för också med sig visa underligheter, t.ex. att om $f\in L^2(a,b)$ och dess norm är noll, så innebär det att $f(x)=0$ "nästan överallt, men bara nästan". Eller min favorit "for almost every $x\in[a,b]$".  

På samma sätt blir det roligt att definiera vad man menar med att två funktioner är lika.

Men hur vet vi att alla våra lösningar kommer ligga i detta rum?

Jag börjar misstänka att jag inte förstår vad du egentligen vill veta, jag trodde du vill veta varför just $L^2$-rummet är så poppis inom Fourieranalys. Men diffekvationen i tråden är en reguljär Sturm-Liouville uppställning med kontinuerliga koefficienter på det begränsade intervallet $[0,2]$.

Det innebär att eventuella lösningar $f$ är kontinuerliga, faktiskt gäller $f\in C^2([0,2])$. Och det gäller ju såklart allmänt att $C([a,b])\subset PC(a,b)\subset L^2(a,b)$.

Undrar du varför man vill använda $L^2$ för obegränsade områden eller när man gör Fouriertransformer?

Edit: Jag kanske ska svara så här istället:

Så länge du har kontinuerliga koefficienter och ett begränsat intervall är det ingen risk att lösningar skulle ligga utanför $L^2$. För singulära Sturm–Liouville-problem (oändliga intervall eller singulära ändpunkter) gäller detta inte i allmänhet, tvärtom kan det i sådana fall finnas lösningar som inte är $L^2$.