Vad "är" sannolikhet?

Sannolikhet är väl ett sätt att beskriva slumpen. Ofta använder vi det dock för saker som är deterministiska (typ kasta en tärning), om hända kaotiska (utfallet är känsligt för de initiala krafterna som tärningen påverkas av) till sådan utsträckning att vi inte kan förutsäga vad som kommer hända. I det här fallet skulle jag säga att sannolikheten inte existerar som en fysisk egenskap, utan fungerar konceptuellt.

När det gäller olika typer av kvanttillstånd/förlopp eller dylikt har vi inte ännu kunnat avgöra huruvida dessa faktiskt är slumpmässiga eller enbart kaotiska. Det är oklart om sannolikhet här skulle kunna ses som en fysisk egenskap eller inte. 

För mig så känns sannolikhet som något som beskriver hur mycket vi "inte vet" om en situation. Eller snarare vad vi kan säga om en situation där vi inte har fullständig kunskap eller att det finns en osäkerhet. Jag skulle inte tillskriva sannolikhet som en fysisk egenskap hos ett system. 

Det du beskriver om att du tänkt sannolikhet som något inherent i ett system tror jag är felaktigt. Vi tar till sannolikhet då det är någonting vi inte vet, så vi får skatta på den information som finns om systemet.

Ta bara ditt kortleksexempel: oavsett vilken ordning korten ligger i så finns det ju bara en sanning: antingen ligger spader ess överst eller så ligger ett annat kort överst. Sannolikheten tar vi bara till eftersom att det är det vi kan säga någonting om.

Om du får huvudvärk över att man tvingas räkna på sannolikheter i kvantfysikens värld så är du inte ensam; Einstein hade vad jag vet stora svårigheter att tänka i de termerna. Grejen med atomer är att de är så rysligt små att vi inte kan betrakta dem utan att påverka dem. Du ser dina medmänniskor endast genom att de bombarderas av fotoner och därmed påverkas atomerna i deras hud så vi ändrar därmed deras tillstånd. De atomer i grupp som utgör dina medmänniskor är många nog att det inte gör någon skillnad praktiskt, men på atomnivån så är det en signifikant påverkan. Därför tvingas man hålla på och räkna på sannolikheter baserat på fysiska modeller av kvantpartiklar och deras kända egenskaper då man sysslar med kvantmekanik.

Den fysiska innebörden av att man tvingas jobba med sannolikheter ("Det är så universum fungerar på dess innersta nivå" eller "Det finns underliggande mekanismer som vi inte upptäckt än") är en tolkningsfråga, och att besvara sådana frågor kan ge en Nobelpris.

Det finns ett sätt att tänka som heter Bayesianskt, och de som gör det kallas eller kallar sig själva Bayesianer. Titta på https://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_probability

Har du tagit höjd för att probability och likelihood är olika begrepp som vi (mig veterligen) båda kallar för sannolikhet på svenska?

Nej, det var ingenting jag tänkte på när jag skrev inlägget. Brukas de verkligen olika i matematiska sammanhang på engelska? Jag tycker "what is the likelihood that..." och "what is the probability that..." skulle betyda samma sak.

Ungefär

Probability/förutspå: Givet ett balanserat mynt, vad är sannolikheten att få klave 10 gånger på 10 kast?

Likelihood/analysera: Givet att ett mynt gav klave 10 gånger på 10 kast, vad är sannolikheten att det är balanserat?

Tillägg: 28 feb 2026 03:14

Inom likelihood ryms en massa teorier, för vi kan även fråga, givet samma scenario "Vad är sannolikheten att singlaren fuskar?" eller "Vad är sannolikheten att en dator styr en fläkt som blåser med rätt hastighet för att garantera klave, givet att singlaren håller handen stilla?" eller helt enkelt "Vad är sannolikheten att myntet visar klave på båda sidorna?"

Hur sannolikhet ska tolkas är väl inte något man är överens om. Som Laguna tar upp, Bayesianer tolkar det på ett sätt, frekventister ett annat.

Användandet är väl dock ungefär samma: resonera om händelser under osäkerhet.

Själv gillar jag tolkningen att det handlar om informationen man har tillgänglig (i fallet med kortleken har du olika mängd information, och därmed olika sannolikheter). Men det är kanske en Bayesiansk tolkning?

I kvantmekaniska fallet så kan väl också situationen förändras? Om man observerar sitt system vet man ”svaret”, och heter det då inte att vågfunktionen kollapsar? 

Jag visste inte att det fanns olika "tolkningar" av sannolikhetsteorin. Hur kan det göra det? Det känns ju som om matematik om något borde vara entydig i sådana här frågor.

Vad skulle ni säga att skillnaden mellan den "bayesianska tolkningen" och den "frekventistiska tolkningen" är? Jag blir inte riktigt klok när jag läser online (kan bero på att jag är väldigt förkyld).

Matematikens sannolikhet bekymrar sig inte med såna här tankar verkligheten utan utgår från ett par primitiva begrepp ( händelser och sannolikhet om jag minns rätt) och en handfull axiom.

Om det sen finns nåt i verkligheten som uppfyller dessa axiom så är det sannolikhet (o händelser)

Edit:

Händelserna kallas nog i själva verket utfall.

Ungefär så här ser det ut:

Alla tänkbara utfall bildar utfallsrummet

Om A,B är utfall i utfallsrummet:

p(A) $\ge$0

p(utfallsrummet) = 1

Om A,B är disjunkta så P(A$\cup$B) = P(A)+P(B)

P($\neg$A) = 1-P(A)

Yes, Kolmogorovaxiomen. Dem känner jag till.

Jag kan hålla med om att tolkningen behövs egentligen inte för att räkna med sannolikheter. Kan du ge mig en tolkning av negativa tal? Kanske, kanske inte. Men du kan definitivt räkna med dem.

I alla fall, även om jag tänkt på tolkningarna en del känner jag mig fortfarande inte helt bekväm. Men jag kan göra ett försök att beskriva. 

En frekventisk tolkar sannolikheter som relativa frekvenser av utfall när ett experiment upprepas. I ditt fall med kortleken, om du skulle upprepa situationen med personen som frågar om spader ess så kommer det i 1/52 av fallen vara så att spader ess ligger högst upp. Dock är kanske situationen som du presenterar den (vad är sannolikheten att spader ess är högst upp i denna kortlek?) en ganska obekväm fråga för frekventisten: de ser som sagt sannolikheter som relativa frekvenser av upprepade experiment. Bedinsis beskriver det frekventistiska tankesättet: om någon håller fram en kortlek till dig så kommer spader ess ligga högst upp eller inte. Därför kan man egentligen inte prata om sannolikhet där: antingen ligger det högst upp eller inte. 

Bayesianen däremot har inga sådana problem. De ser istället sannolikhet som en subjektiv tro om världen. Så det är snarare en fråga om vad du tror om något. Och det är lite vad jag menar med att min tolkning (att sannolikhet är avsaknad av information) är Bayesiansk: jag har ingen mer information om kortleken än att det är 52 kort och den är väl blandad (?), så därför tror jag att kortets position följer en likformig fördelning över de 52 positionerna, och därmed är sannolikheten 1/52 att det är på toppen. Så om skummisen sagt att jag får 52 (eller mer) gånger pengarna jag satsar om spader ess är på toppen hade jag tagit det betet (om jag i denna hypotetiska situation följt det Bayesianska tankesättet och av någon anledning varit sugen på att satsa pengar).

Det finns såklart personer som (närmast religiöst) tror stenhårt på det ena eller andra tankesättet, men många är också mer flexibla och använder de olika metoderna när det passar. För det blir skillnader när man börjar prata statistik (som ovan, vad är sannolikheten att kortet är på toppen: man frågar sig vad den okända parametern "kortets position" är). Om du läst en statistikkurs har du räknat på konfidensintervall och kommer kanske ihåg att tolkningen av det 95 %-iga konfidensintervallet [0.05, 1.35] för någon parameter inte är att parametern med 95 % sannolikhet ligger i intervallet [0.05, 1.35]. Istället är tolkningen att om du använder den metod du använde för att skapa konfidensintervallet och upprepar processen (många gånger) så kommer du i 95 % av gångerna täcka det verkliga intervallet. Givet vad jag skrivit om de olika tolkningarna av sannolikhet, är konfidensintervall en frekventistisk eller Bayesiansk metod? 

Givet vad jag skrivit om de olika tolkningarna av sannolikhet, är konfidensintervall en frekventistisk eller Bayesiansk metod?

Det låter entydigt som en frekventistisk metod.

Men borde inte den frekventistiska tolkningen vara fel väldigt ofta? Den gäller ju endast om fördelningar faktiskt är slumpmässiga, och hur ska man veta det? Matematiskt innebär det att den magiska funktionen $\mathbb{P}$ som vi konstruerar, sannolikhetsmåttet på vårt sannolikhetsrum, tilldelar alla händelser samma sannolikhet. Men det är knappast en intuitiv tolkning utan bara ett matematiskt konstaterande, såvitt jag förstår; för att skapa en funktion som tilldelar alla händelser samma tal måste vi ju a priori veta något om den här egenskapen, "likformigt fördelad", så att sannolikhetsmåttet mappar alla händelser till samma tal kan inte vara en definition.

Jag förstår nog inte riktigt vad du menar. Jag är också rädd att jag kanske lett in dig på lite sidospår och att det blivit lite fråga om semantik: det beror litegrann på hur du formulerar den här situationen med skummisen.

Om du formulerar det som att ”vad är sannolikheten att spader ess ligger högst upp i en kortlek som en skummis håller fram?” skulle jag vilja påstå att frekventisten svarar 1/52. Detta är ett experiment man kan tänka sig att man upprepar: det dyker upp nya skummisar med nya kortlekar, och i 1/52 av gångerna kommer spader ess ligga på toppen. Om du däremot går fram till en frekventist med en kortlek och frågar ”vad är sannolikheten att spader ess ligger på toppen i denna kortlek?” skulle det bli kortslutning för dem och de skulle säga ”det går inte att svara på, i denna kortlek ligger det antingen på toppen eller inte, dvs 100 eller 0 %” (nu är jag lite hård kanske, men i princip så).

Jämför konfidensintervall: frekventisten kan säga att om jag beräknar ett konfidensintervall är det 95 % sannolikhet att jag täcker den verkligen parametern. Men när jag väl beräknat [1.2, 5.3] täcker det eller inte. 

Min fråga kanske egentligen mer koncist kan skrivas om som: hur vet vi att egenskapen "blandad" innebär att vi ska tilldela varje händelse samma tal (sannolikhet)?

Det jag försöker förstå är vad det innebär att en slumpvariabel är likformigt fördelad. Ett lockande svar är ju att sannolikhetsmåttet $\mathbb{P}:\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1]$, där $\mathcal{F}$ är mängden av alla händelser och $\Omega$ är utfallsrummet, tilldelar varje $A\in \mathcal{F}$ med endast ett element samma sannolikhet. I fallet med kortet kanske vi exempelvis har

$\displaystyle \mathbb{P}\left(A\right):=\frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{1}{52}$

Problemet är att använda detta som "definition" verkar vara lite bakåtvänt eftersom vi måste veta något om vad "likformigt fördelad" ens betyder för att kunna skapa ett sådant sannolikhetsmått.

Intressant fråga, och här verkar mina kunskaper ta slut för jag kan inte ge något bra svar :(

Inte jag heller :(

Jag har inte läst hela tråden, men en likformig sannolikhetsfördelning (i det ändliga fallet) är ju per definition när alla elementarsannolikheterna är lika i ett ändligt utfallsrum. Då bevisas sambandet enkelt eftersom summan av elementarsannolikheterna ska vara 1, måste $P(u)=1/n$ för alla utfall u. Alltså är

$P(A)=\sum_{u\in A} P(u)=\sum_{u\in A}\frac{1}{n}=\frac{n(A)}{n}$

I övningar och så vidare används ofta "på måfå" eller "fullständigt blandad" för att indikera att likformig sannolikhetsfördelning. Huruvida likformig sannolikhetsfördelning faktiskt relaterar till något fenomen i "verkligheten" måste ju avgöras experimentellt och är inte en fråga för matematiken.

Det jag funderar på är kanske inte en fråga för matematiken då. Det jag undrar är alltså varför "väl blandad" eller "på måfå" eller liknande skulle indikera att summan av alla elementarsannolikheter ska vara 1.

Om vi då lämnar matematiken och går över till fysiken så kan utfallsrummet $\Omega$ uppfattas som mängden av alla möjliga utfall vid en observation.

Att sannolikhetsmåttet då är definierat så att $P(\Omega)=1$ stämmer väl överens med våra vardagliga förväntningar. Har vi tre möjliga utfall $r, g, b$ är det rimligt att anta att experimentet antar något av de tillåtna tillstånden och därmed att sannolikheterna för varje tillstånd måste adderas till 1. Vi tänker oss alltså ett experiment där superpositioner (blandade tillstånd) inte förekommer som tillåten observation (när vi observerar systemet kollapsar det till något av tillstånden).

Huruvida sannolikheterna dessutom är lika stora (dvs likformig sannolikhetsfördelning) handlar ju om vad naturlagarna tillåter, och hur vår modell ser ut. En kvark kan ha tre färgladdningar (rgb). Om systemet är helt symmetriskt och inget bryter färgsymmetrin (t.ex. i ett idealiserat, isolerat tillstånd utan mätning som särskiljer färg), kan tillståndet skrivas som en superposition:

$\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\left( |r\rangle + |g\rangle + |b\rangle \right)$

Och när vi observerar systemet borde vi då få: 

$P(i) = |\langle i \mid \psi \rangle|^2= \left| \frac{1}{\sqrt{3}} \right|^2= \frac{1}{3}$

Vi antog alltså att tillståndet var väl blandat eftersom inget särskiljer något tillstånd från ett annat, de är alla lika. Det är ett rimligt antagande och det visar sig att $P(i)=\frac13$) stämmer väl med hur naturen fungerar (experimentdata!).

En kortlek kan förmodligen aldrig vara väl blandad på riktigt eftersom det är omöjligt (åtminstone praktiskt omöjligt) att skapa en fysisk blandningsprocess som inte påverkas av att korten är lite olika. Däremot kan vi säkert komma tillräckligt nära för att de flesta ska acceptera det som en väl blandad kortlek.

(Det är därför online-casinon ofta har väldigt mycket bättre kortlekar, baserade på QRNG)

Jag tror att jag uttryckte mig felaktigt men att du ändå förstod min fråga. Den var alltså varför likformig fördelning innebär att alla elementarsannolikheter ska vara lika stora, och om det är själva definitionen av likformig fördelning, hur kan vi veta att det system vi undersöker faktiskt skulle ha denna egenskap?

Jag misstänker att man även här kan börja diskutera mätteori, som vi diskuterade i den tidigare tråden om vad "massa" innebär. Kanske går det endast att veta a posteriori att det faktiskt är ett rimligt antagande; vi vet först efter ett näst intill oändligt antal observationer att det faktiskt är rimligt att

$\displaystyle \text{välblandad} \Longrightarrow \text{alla elementarsannolikheter är lika stora}$

I så fall kan man ju fråga sig, i linje med det Hondel och Bedinsis tog upp ovan: har skummisens fråga ens ett bra svar? Kan vi ens svara på hans fråga?

Här kommer en bump och en ytterligare kommentar i samma inlägg.

Just detta med att experimentell data visar att det är ett rimligt antagande är jag inte helt säker på att jag förstår. Låt oss åter studera skummisens första delfråga.

Vi skulle kanske kunna postulera att alla elementarsannolikheter är lika stora ($1/52$). Fine. Låt vidare säga att vi genomför tre miljarder försök och det visar sig att den genomsnittliga sannolikhet vi får fram är mycket nära $1/52$. Skulle detta vara bevis för att vårt postulat stämmer? Tänk om kommande tre miljarder försök ger drastiskt avvikande utfall och istället får genomsnittet att konvergera (i icke-matematisk bemärkelse) mot något annat...?

Ja, det är ju så all vetenskap fungerar. Empiriska data kan kan inte logiskt förklara en sannolikhetsfördelning (eller någon axiomatisk modell heller för den delen). De kan bara stödja modellen, eller falsifiera den om resultaten avviker systematiskt.

I många fall vet vi ju dessutom att modellen i grunden är felaktig men ger tillräckligt bra resultat för att användas till vardags ändå. Till exempel Newtons andra lag. 

Om resultaten systematiskt avvek eller inte gav oss korrekta förutsägelser skulle vi behöva ompröva modellen och hitta på något annat. Det finns en känd sats (de stora talens lag) som säger ungefär att om sannolikheten för något är $p$, så kommer den observerade frekvensen att konvergera mot $p$ när antalet försök går mot oändligheten. Men notera att vi här går åt fel håll, vi förutsätter ju $p$.

Sannolikhetsmodeller återspeglar ibland verkliga slumpmässiga processer, jämför till exempel Heisenbergs osäkerhetsrelation eller radioaktivt sönderfall med exponentialfördelning. Vilket i sig omöjliggör exakta mätningar. Men redan långt innan kvantmekaniken sätter stopp för vår strävan uppstår andra praktiska problem.

Till exempel kommer ju korten i vår kortlek degraderas redan efter bara några hundra mekaniska blandningar och kortleken kommer då vara så långt från rättvis att det upplevs som ett problem av professionella pokerspelare. Det är alltså inte bara för att undvika märkta kort eller för att vara estetiskt tilltalande som Casinon har strikta regler om hur ofta man måste byta till nya kortlekar i sina pokerrum.  Om vi skulle göra försök med nytillverkade kortlekar istället så har du flyttat problemet till tillverkningsprocessen, där korten måste vara identiska och blandas med någon rättvis maskin. Ytterst skulle vi kanske kunna skapa en slumpgenerator som skapar ett tal mellan $1$ och $52!$ där vi tror att sannolikheten för varje utfall är likformigt, garanterat av kvantmekanisk slump, och sedan sortera kortlekarna enligt den. Men vi kan ju fortfarande inte veta att vår kvantmekaniska uppräkningsmodell är slumpmässig. Vi bara tror att det är så, eftersom det är vetenskapligt bevisat.

När jag tänkt lite mer på det så tror jag att man åtminstone kan säga att spader ess position i en perfekt blandad kortlek är modellerad med en likformig fördelning. Det kräver då antagandet att alla positioner är lika troliga, vilket vi nog kan vara överens om gäller i det fallet vi faktiskt skulle lyckas få till en perfekt blandad kortlek (men i praktiken gäller det ju såklart inte). Sen kanske man också kan härleda det från mer grundläggande principer. Jag antar att man kanske skulle kunna börja med ”en perfekt blandad kortlek betyder att alla permutationer av korten är lika troliga”, och därifrån då komma fram till att från det följer att alla spader ess positioner har sannolikheten 1/52, och då dra slutsatsen att det är exakt definitionen av en likformig fördelning.

Men detta följde ju bara från något antagande om kortleken. Om vi inte hade det antagandet, då är det väl svårare. Kanske skulle fortfarande Bayesianen säga 1/52, eftersom den inte har någon aning om hur den här skummisen blandar sina kortlekar, så dess ”a priori”-sannolikhet är 1/52. Medan frekventisten skulle säga ”det finns ingen som helst data, så det går inte att säga”? 

D4NIEL skrev:

Ja, det är ju så all vetenskap fungerar. Empiriska data kan kan inte logiskt förklara en sannolikhetsfördelning (eller någon axiomatisk modell heller för den delen). De kan bara stödja modellen, eller falsifiera den om resultaten avviker systematiskt.

I många fall vet vi ju dessutom att modellen i grunden är felaktig men ger tillräckligt bra resultat för att användas till vardags ändå. Till exempel Newtons andra lag. 

Om resultaten systematiskt avvek eller inte gav oss korrekta förutsägelser skulle vi behöva ompröva modellen och hitta på något annat. Det finns en känd sats (de stora talens lag) som säger ungefär att om sannolikheten för något är $p$, så kommer den observerade frekvensen att konvergera mot $p$ när antalet försök går mot oändligheten. Men notera att vi här går åt fel håll, vi förutsätter ju $p$.

Sannolikhetsmodeller återspeglar ibland verkliga slumpmässiga processer, jämför till exempel Heisenbergs osäkerhetsrelation eller radioaktivt sönderfall med exponentialfördelning. Vilket i sig omöjliggör exakta mätningar. Men redan långt innan kvantmekaniken sätter stopp för vår strävan uppstår andra praktiska problem.

Till exempel kommer ju korten i vår kortlek degraderas redan efter bara några hundra mekaniska blandningar och kortleken kommer då vara så långt från rättvis att det upplevs som ett problem av professionella pokerspelare. Det är alltså inte bara för att undvika märkta kort eller för att vara estetiskt tilltalande som Casinon har strikta regler om hur ofta man måste byta till nya kortlekar i sina pokerrum.  Om vi skulle göra försök med nytillverkade kortlekar istället så har du flyttat problemet till tillverkningsprocessen, där korten måste vara identiska och blandas med någon rättvis maskin. Ytterst skulle vi kanske kunna skapa en slumpgenerator som skapar ett tal mellan $1$ och $52!$ där vi tror att sannolikheten för varje utfall är likformigt, garanterat av kvantmekanisk slump, och sedan sortera kortlekarna enligt den. Men vi kan ju fortfarande inte veta att vår kvantmekaniska uppräkningsmodell är slumpmässig. Vi bara tror att det är så, eftersom det är vetenskapligt bevisat.

Av en slump(!) såg jag ett inlägg av Jason Ladanye ang. "känslan" i en ny respektive en gammal kortlek. Visst, det är skillnad, men inget som hindrade honom från att mästerligt manipulera en "giv". Han och Jeremy Tan är skickliga.