Vad är skillnaden formellt på en punkt och en euklidisk vektor?

Jag skulle nog se det som en punkt samt en riktning med fart/styrka.

"Planet flyger i sydlig riktning i 700 knops fart från/över/till Stockholm"

är det samma som

"Vektorn 700(0,-1) startar/går igenom/slutar i punkten (a,b)"

om man nu tillskriver "söder" i ett koordinatsystem och med lämpliga enheter.

Det är en bra intuition. Men jag syftar mer på det formella. Hur skiljer sig objekten från varandra rent formellt?

naytte skrev:

Det är en bra intuition. Men jag syftar mer på det formella. Hur skiljer sig objekten från varandra rent formellt?

Rent matematiskt är en vektor ett element i ett vektorrum. En punkt har ingen entydig definition men i Euklidisk geometri brukar det syfta på en ordnad tupel av tal.

Vi kan definiera en vektorrumsstruktur på mängden av ordnade tupler $\mathbb{R}^n$ och på så sätt blir elementen vektorer. 

Precis, en vektor är ett element i ett vektorrum. Men när vi säger $\mathbf{x}\in\mathbb{R^3}$ och sedan säger $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$, menar vi inte samma $\mathbb{R}^3$ i båda fallen då? I det ena fallet verkar vi mena "R³ med operationer" och i det andra fallet "R³ utan operationer", trots att vi använder identisk notation.

Av sammanhanget brukar det framgå om det syftas på vektorrummet $\mathbb{R}^3$ eller endast den kartesiska produkten. Hur man väljer att notera elementen är godtyckligt, men skrivs det med feta bokstäver där man inte skriver ut koordinaterna är det högst troligt att man menar vektorrummet.

Om man väljer att betrakta det som mängd eller som vektorrum spelar inte någon större roll, de står i bijektion med varandra. 

Men så rent formellt är det i alla fall olika mängder man talar om? Mängderna är såklart isomorfa som mängder men inte som t.ex. ringar (talar man endast om t.ex. R³ som mängden av endast ordnade tupler finns det ju inga operationer)?

Mängderna är identiska (inte bara isomorfa, utan en och samma). Om du vill så kan man säga att punkterna blir till vektorer när vi lägger till vektorrumsstrukturen. Skillnaden är att en punkt kan referera till lite olika saker i geometri, men vektor är en exakt definition.

Men hur kan vi säga att de är samma mängd när de inte innehåller samma slags objekt?

naytte skrev:

Men hur kan vi säga att de är samma mängd när de inte innehåller samma slags objekt?

Jag kanske missförstår, men mängden är $\mathbb{R}^3$ i båda fallen.

Objekten, eller elementen, är identiska i båda fall: de är ordnade tupler.

Om vi väljer att betrakta den vektorstruktur som finns på $\mathbb{R}^3$, dvs. addition och skalärprodukt, då har elementen även ett annat namn: vektor.

Samma underliggande mängd, samma element.

Okej, så formellt är objekten "identiska" men då de kallas vektorer existerar de på en variant av R³ med "mer struktur" eller hur man nu ska uttrycka det?

Vektorer existerar i rummet $(\mathbb{R}^3, +, \cdot)$ medan bara en tupel existerar i mängden $\mathbb{R}^3$?

Ja, typ. Men det är inte en annan variant av $\mathbb{R}^3$, det är exakt samma mängd oavsett om vi talar om en tupel eller en vektor. Den övriga strukturen förändrar inte det, utan den inför operationer (vektoraddition och skalärprodukt) och ställer vissa krav på hur mängden får se ut, men ingenting i den underliggande mängden förändras av denna extra struktur. Typ som att talet 2 både kan ses som ett reellt tal och ett heltal.

Tillägg: 20 aug 2025 18:31

Kanske inte en superbra liknelse jag skrev. Men talet 2 kan ses som t.ex. både ett gruppelement och ett ringelement beroende på vad för struktur vi väljer att utrusta $\mathbb{Z}$ med (säg, vanlig addition eller vanlig addition och multiplikation), men det är fortfarande samma element $2\in\mathbb{Z}$ vi refererar till.

Ofta när man pratar om Euklidiska vektorrum brukar man säga att vektorer är som "pilar", eller saker som har "en riktning och ett värde/magnitud". Detta är en rimlig intuition, men rent matematiskt är vektorer bara element i vektorrum. Så till exempel kan matriser, polynom eller funktioner vara vektorer.

Det visar sig att den matematiska definitionen av Euklidiska vektorrum exakt stämmer överens med sättet att se vektorer som "pilar" eller "riktning+magnitud". En vektor har med detta perspektiv ingen start- eller slutpunkt, utan vektorn mellan, säg (0,0) och (1,1) är identisk med vektorn mellan (1,1) och (2,2). Så man kan se vektorer som att de beskriver "förflyttningar längs en riktning" snarare än en fixerad pil någonstans i planet. En annan liknelse är tid: om punkter är klockslag, t.ex. 14:45, så är vektorer "durationer", t.ex. +40 min. eller -120min.

Ett enkelt sätt att specificera en vektor enligt intuitionen ovan är att endast ange en punkt, säg (x,y,z), och mena den unika vektor vars "förflyttning" ges av origo (0,0,0) till (x,y,z). På detta vis finns en 1-1 korrespondens mellan punkter (x,y,z) och vektorer.

När det kan uppstå förvirring är att när vi formellt definierar vektorrummet $\mathbb{R}^3$ (eller mer generellt $\mathbb{R}^n$) så är tuplerna (x,y,z) precis de objekt vi gör till vektorer. Istället för en korrespondens mellan "pilar" och punkter så låter vi alltså punkterna definieras som vektorer genom att vi inför addition och skalärprodukt. Här lämnar vi intuitionen bakom oss och går till det formellt matematiska, så att säga. Och i den bemärkelsen är vektorerna exakt de tupler som finns i mängden.

Det beror ju på vad man menar med "euklidisk vektor". Normalt avses en affin (ortogonal) vektor i geometrisk kontext. För att särskilja kan vi kalla rummet där punkterna bor för till exempel $E_3$ för att inte blanda ihop det.

Tyvärr är det vanligt att man blandar ihop en punkt $P$ i till exempel $E_3$ med dess positionsvektor $\mathbf{r}_P$ och följaktligen tycker man att vektorn i sig "tillhör" $E_3$. Men $E_3$ består bara av dess punkter. När man sedan börjar arbeta med koordinattransformationer förstärks missförståndet när det visar sig att det ibland fungerar att blanda ihop positions- eller lägesvektorn med punkten under vissa specifika omständigheter (vid vissa transformationer), men inte allmänt.

För att börja fundera över saken kan man till exempel undersöka transformationsegenskaper hos gradienten av ett skalärt fält. Vi vill ju gärna att den vektorn ska ge oss samma geometriska information vid samma punkt $P$ i $E_3$, oavsett koordinatsystem. 

D4NIEL skrev:

Det beror ju på vad man menar med "euklidisk vektor". Normalt avses en affin (ortogonal) vektor i geometrisk kontext. För att särskilja kan vi kalla rummet där punkterna bor för till exempel $E_3$ för att inte blanda ihop det.

Tyvärr är det vanligt att man blandar ihop en punkt $P$ i till exempel $E_3$ med dess positionsvektor $\mathbf{r}_P$ och följaktligen tycker man att vektorn i sig "tillhör" $E_3$. Men $E_3$ består bara av dess punkter. När man sedan börjar arbeta med koordinattransformationer förstärks missförståndet när det visar sig att det ibland fungerar att blanda ihop positions- eller lägesvektorn med punkten under vissa specifika omständigheter (vid vissa transformationer), men inte allmänt.

För att börja fundera över saken kan man till exempel undersöka transformationsegenskaper hos gradienten av ett skalärt fält. Vi vill ju gärna att den vektorn ska ge oss samma geometriska information vid samma punkt $P$ i $E_3$, oavsett koordinatsystem. 

Min uppfattning var att det som diskuterades var $\mathbb{R}^n$ (specifikt för $n=3$), alltså det reella vektorrummet av dimension $n$. I detta fall är punkter i $\mathbb{R}^n$ och vektorer i $\mathbb{R}^n$ en och samma sak.

Konceptuellt är ju såklart punkter och vektorer olika saker, och inom fysik till exempel (som jag antar att du är inne på) så är det viktigt att hålla isär begreppen, det är riktigt.

Formellt utgör $\mathbb{E}^n$, vars underliggande mängd är densamma som för vektorrummet $\mathbb{R}^n$, ett s.k. Euklidiskt rum (en typ av affint rum). Det är inte i sig ett vektorrum precis som du påpekar. Vi kan till exempel inte addera två punkter i $\mathbb{E}^n$. Dock kan vi göra några andra saker, som till exempel att givet en punkt $p\in \mathbb{E}^n$ och en vektor $v\in \mathbb{R}^n$ finna en ny punkt $p+v\in \mathbb{E}^n$ (intuitivt: vi startar i punkten $p$ och rör oss längs vektorn $v$).

Det Euklidiska rummet $\mathbb{E}^n$ hör ihop med vektorrummet $\mathbb{R}^n$ på ett specifikt sätt. Till exempel finner vi följande egenskap: för alla punkter $p,q\in\mathbb{E}^n$ så finns det en unik vektor $v\in\mathbb{R}^n$ sådan att $q = p + v$. Denna vektor $v$ brukar noteras $q-p$. 

Allt detta blir såklart inte lättare av att punkter i $\mathbb{E}^n$ och vektorer i $\mathbb{R}^n$ båda skrivs som tupler.

Gustor skrev:

Min uppfattning var att det som diskuterades var $\mathbb{R}^n$ (specifikt för $n=3$), alltså det reella vektorrummet av dimension $n$. I detta fall är punkter i $\mathbb{R}^n$ och vektorer i $\mathbb{R}^n$ en och samma sak.

Det jag tror naytte undrar över är den formella skillnaden mellan en euklidisk vektor (dvs en geometrisk vektor) och lägesvektorn som ett annat geometriskt (dvs invariant) matematiskt objekt.

Skillnaden blir viktig, till exempel när man vill förstå transformationer av uttryck som innehåller nablaoperatorn i flervariabelanalysen eller hur varje punkt i rummet tycks få ett eget vektorrum med nya basvektorer när man studerar tangent(rum) till en kurva eller en yta.

Som PATENTERAMERA påpekar är affin algebra i euklidisk geometri det man vanligen avser när man pratar om euklidiska vektorer. Åtminstone avses en kontext där punkter och vektorer är väldefinierade åtskilda geometriska (invarianta) koncept.

Gustor skrev:

Ja, typ. Men det är inte en annan variant av $\mathbb{R}^3$, det är exakt samma mängd oavsett om vi talar om en tupel eller en vektor. Den övriga strukturen förändrar inte det, utan den inför operationer (vektoraddition och skalärprodukt) och ställer vissa krav på hur mängden får se ut, men ingenting i den underliggande mängden förändras av denna extra struktur. Typ som att talet 2 både kan ses som ett reellt tal och ett heltal.

---

Tillägg: 20 aug 2025 18:31

Kanske inte en superbra liknelse jag skrev. Men talet 2 kan ses som t.ex. både ett gruppelement och ett ringelement beroende på vad för struktur vi väljer att utrusta $\mathbb{Z}$ med (säg, vanlig addition eller vanlig addition och multiplikation), men det är fortfarande samma element $2\in\mathbb{Z}$ vi refererar till.

Ditt tillägg fick mig att förstå vad det är som förvirrar mig så väldigt angående skillnaden på punkter och vektorer. Saken är ju den att man sällan betraktar $2\in\mathbb{Z}$ både som ett grupp- och ringelement samtidigt, utan vi ser det som antingen eller. Det som är förvirrande med euklidiska vektorer och punkter är att vi här blandar båda strukturerna och arbetar med dem simultant.

Jag tror också att den här tråden hjälpte mig reda ut en allmän fråga gällande flervariabelanalys. Då vi arbetar i två dimensioner i $xy$-planet finns det den klassiska formeln:

$\displaystyle \iint_{T\left(D\right)\subseteq \mathbb{R}^2}f\left(x,y\right)dxdy=\iint_{D}f\left(T\left(u,v\right)\right)\left|J_T\right|dudv$

givet en tillräckligt trevlig transformation $T$.

Transformationen spottar i detta fall ut det vi kallar för en punkt, inte det som vi intuitivt förstår som en vektor, och det är extremt rimligt att så är fallet, eftersom vi vill avbilda punktmängder på varandra. När vi däremot går upp en dimension talar vi istället om vektorvärda parametriseringar. Exempelvis när vi vill beräkna en kurvintegral längs en kurva i tre dimensioner, $\gamma$, parametriserar vi denna och använder skrivsättet för en vektorvärd funktion, $\mathbf{r}=(x(t), y(t), z(t))$. Detta har alltid förvirrat mig, för nu försöker vi beskriva en punktmängd med vektorer istället för punkter?? Men med den nyvunna kunskapen att euklidiska vektorer och punkter är samma objekt formellt kan det kanske kvitta egentligen om det man får ut är en "vektor" eller en "punkt", ty de är egentligen "samma" objekt.

D4NIEL skrev:

Gustor skrev:

Min uppfattning var att det som diskuterades var $\mathbb{R}^n$ (specifikt för $n=3$), alltså det reella vektorrummet av dimension $n$. I detta fall är punkter i $\mathbb{R}^n$ och vektorer i $\mathbb{R}^n$ en och samma sak.

Det jag tror naytte undrar över är den formella skillnaden mellan en euklidisk vektor (dvs en geometrisk vektor) och lägesvektorn som ett annat geometriskt (dvs invariant) matematiskt objekt.

Skillnaden blir viktig, till exempel när man vill förstå transformationer av uttryck som innehåller nablaoperatorn i flervariabelanalysen eller hur varje punkt i rummet tycks få ett eget vektorrum med nya basvektorer när man studerar tangent(rum) till en kurva eller en yta.

Som PATENTERAMERA påpekar är affin algebra i euklidisk geometri det man vanligen avser när man pratar om euklidiska vektorer. Åtminstone avses en kontext där punkter och vektorer är väldefinierade åtskilda geometriska (invarianta) koncept.

Du har säkert rätt, jag kan ha missuppfattat frågeställningen. Jag tänkte på vektorer mer allmänt istället för Euklidiska vektorer specifikt. Det enda jag egentligen ville ha sagt var att en vektor har en specifik betydelse till skillnad från punkt som brukar beteckna ett element i något slags rum (men har ingen specifik matematisk definition). Det jag också försökte betona var att den egentliga skillnaden mellan punkter i $\mathbb{R}^n$ och vektorer i $\mathbb{R}^n$ är själva strukturen (vi kan inte t.ex. addera punkter, men vi kan addera vektorer), men att de faktiskt kan representeras av en och samma matematiska objekt (ordnade tupler).

naytte skrev:

Detta har alltid förvirrat mig, för nu försöker vi beskriva en punktmängd med vektorer istället för punkter?? Men med den nyvunna kunskapen att euklidiska vektorer och punkter är samma objekt formellt kan det kanske kvitta egentligen om det man får ut är en "vektor" eller en "punkt", ty de är egentligen "samma" objekt.

Ja precis, eller åtminstone så kan varje vektor i ett reellt eller komplext vektorrum representeras med en tupel. Mer precist så om $V$ är ett $n$-dimensionellt vektorrum över $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$ (eller mer generellt, över någon kropp $F$) så är $V$ isomorft med $F^n$, där $F^n$ är vektorrummet av tupler $(x_1,\dots,x_n)$, $x_i\in F$ med komponentvis addition och skalärprodukt.

Det betyder i praktiken att man alltid kan representera (ändligdimensionella) vektorrum som mängder av tupler med komponentvis addition och skalärprodukt, men det är inte nödvändigtvis just den representationen man använder som D4NIEL påpekat. Så en vektor behöver inte nödvändigtvis betyda en tupel av tal, men vi kan alltid om vi vill omvandla den till den formen. Att en funktion $f$ är "vektorvärd" betyder bara att $f(x)$ är en vektor i något vektorrum för varje $x$ i domänen till $f$. Så $f(x)$ kan absolut vara en tupel (men inte nödvändigtvis).

En annan fördel med att uttrycka punkter med euklidiska vektorer istället för bara rena tupler ur $\mathbb{R}^3$ är att man kan lägga ihop dem ganska trevligt, á la:

$\displaystyle \mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\mathbf{i}+ y(u,v)\mathbf{j} + z(u,v)\mathbf{k}$

Det man får ut kan man lika gärna betrakta som en punkt men fördelen med att arbeta med vektorer är att vi kan representera transformationens punkter komponentvis så här.

Jag tänkte ge en förenklad förklaring om vad som skiljer en geometrisk (euklidisk) vektor från en vektor i största allmänhet, eftersom ämnet tangerar viktiga matematiska grundkoncept som används i tråden.

Ett enkelt sätt att beskriva en punkts läge är att utgå från en godtyckligt vald referenspunkt, ofta kallad Origo, och dra en rät linje från origo till punkten. Denna riktade linje kallas punktens lägesvektor.

Notera att vi inte använde något koordinatsystem för konstruktionen. Konceptet är koordinatoberoende. Det enda som krävs är att det är tillåtet/möjligt att dra räta linjer, vilket ju är en grundläggande egenskap hos Euklidiska rum. Oavsett vem vi ber dra den räta linjen kommer de dra exakt samma räta linje mellan Origo och punkten.

En punkt kännetecknas alltså av att den representerar en bestämd position i rummet. Denna position är oberoende av vilken koordinatrepresentation som används för att beskriva den.

Objekt av den här typen, som kan definieras helt utan koordinater, kallas geometriska. 

Ibland använder man ordet invariant istället för geometrisk. Man kan också gå åt andra hållet, dvs matematiskt invariant -> geometrisk. Att hitta en geometrisk tolkning av ett invariant objekt kan ibland vara svårt, men ur strikt matematisk synvinkel är begreppen ekvivalenta.

Lite förenklat kan man säga att en geometrisk vektor åtminstone förutsätter ett Euklidiskt rum (ett rum av punkter) där vi kan påbörja vår koordinatfria konstruktion. Till rummet kan vi sedan associera ett överlagrat vektorrum där de invarianta vektorerna får bo. Men notera att lägesvektorn har en "särställning".

Koordinater eller koordinattupler är åandra sidan exempel på representationer. De ändras när man byter koordinatsystem.

Till sist, man får ha respekt för att det kan finns såväl litteratur som kollegor som tycker att varje slumpmässig uppsättning tal som kan samlas ihop till en tupel ska få äran att kallas vektor. Det är okej, så länge de inte påstår att det är en geometrisk vektor.

D4NIEL skrev:

Till sist, man får ha respekt för att det kan finns såväl litteratur som kollegor som tycker att varje slumpmässig uppsättning tal som kan samlas ihop till en tupel ska få äran att kallas vektor. Det är okej, så länge de inte påstår att det är en geometrisk vektor.

Det är inte en fråga om åsikt, utan ett faktum. Enligt den moderna definitionen av vektorrum, som generaliserar Euklidiska/geometriska vektorer, så är vektorer element i vektorrum.

Och vad menar du förresten med "slumpmässig uppsättning tal som kan samlas i en tupel"? Självklart är koordinatsystem fortfarande flitigt använda, inte minst av dig själv. Där representeras ju vektorer av tupler.

Gustor skrev:

D4NIEL skrev:

Till sist, man får ha respekt för att det kan finns såväl litteratur som kollegor som tycker att varje slumpmässig uppsättning tal som kan samlas ihop till en tupel ska få äran att kallas vektor. Det är okej, så länge de inte påstår att det är en geometrisk vektor.

Det är inte en fråga om åsikt, utan ett faktum. Enligt den moderna definitionen av vektorrum, som generaliserar Euklidiska/geometriska vektorer, så är vektorer element i vektorrum.

Och vad menar du förresten med "slumpmässig uppsättning tal som kan samlas i en tupel"? Självklart är koordinatsystem fortfarande flitigt använda, inte minst av dig själv. Där representeras ju vektorer av tupler.

Alla euklidiska vektorer är vektorer, men inte alla vektorer är euklidiska. En euklidisk vektor är en extra fin typ av vektor, den uppfyller kraven för att få kallas geometrisk.

Ett exempel på en icke-geometrisk vektor är kryssprodukten mellan två euklidiska vektorer. Den bildar istället en pseudovektor eller en axial vektor eftersom högerskruven i skruvregeln för kryssprodukten vid inversion eller spegling blir en vänsterskruv. Vektorn uppfyller därmed inte kraven om geometrisk invarians.

Vi kan "laga" kryssprodukten genom att lägga till specialregler för dess konstruktion och transformation så att den också bildar ett geometriskt objekt. 

Inom modern differentialgeometri brukar vi oftast separera rummet (grundmängden eller mångfalden) och de associerade vektorrummen som upprättas till varje punkt för att underlätta definition och hantering av geometriska objekt.

Jag förstår skillnaden. I fysik när man ser en vektor som en "pil" behöver den t.ex. vara invariant under vissa transformationer. Om man tänker sig att vi roterar våra basvektorer så förändras vektorns koordinater men det geometriska objektet man tänker sig i fysiken är oförändrat (magnituden och riktningen är densamma).

Jag förstår dock inte vad som är extra fint med detta. Det är bara en mer specifik typ av vektor som är en matematisk vektor med en rad ytterligare villkor ställda på sig. Det är helt enkelt att man syftar på denna mer specifika typ av vektor med begreppet i fysik/differentialgeometri än i ren matematik.

Det är lite underligt sätt att uttrycka sig på att hävda att "vissa tycker" när bokstavligen alla matematiker använder den mer generella definitionen. Jag tycker inte man behöver lägga någon värdering i det utan begreppet kan helt enkelt syfta på olika saker inom olika områden.

Gustor skrev:

Jag förstår dock inte vad som är extra fint med detta. Det är bara en mer specifik typ av vektor som är en matematisk vektor med en rad ytterligare villkor ställda på sig.

Trådens rubrik är frågan "Vad är skillnaden mellan en punkt och en euklidisk vektor". För att förstå frågan behöver vi först förstå skillnaden mellan en euklidisk vektor och en vanlig vektor. 

Vad som är elegant och fint med koordinatfria representationer kan vara svårt att inse om man inte arbetat med det. I vissa problem kan koordinatfria uttryck lyfta fram de geometriska och strukturella aspekterna utan att sikten skyms av alla indexträd. Ofta blir formlerna kortare och tydligare.

Syftet med en koordinatoberoende formalism är att vi ska kunna uttrycka oss direkt i termer av geometriska objekt som vektorfält, differentialformer, tensorer och avbildningar. Och att det genast skapas nya geometriskt giltiga objekt.

Redan i den inledande kursen i flervariabelanalys förekommer koordinattransformationer av vektorfält och invarianta skalärer som $\nabla \cdot \mathbf{F}$. Då är det viktigt att flödesintegraler, skalärer och gradienter inte ändrar värde beroende på vilket koordinatsystem studenten väljer. En koordinatoberoende formalism sköter detta automatiskt, det tycker jag är elegant och värdefullt.

Trådens rubrik är frågan "Vad är skillnaden mellan en punkt och en euklidisk vektor". För att förstå frågan behöver vi först förstå skillnaden mellan en euklidisk vektor och en vanlig vektor. 

Jag sade att jag inte förstår vad som är extra fint med det, inte att jag inte förstår skillnaden.

Vad som är elegant och fint med koordinatfria representationer kan vara svårt att inse om man inte arbetat med det.

Jag håller med om att koordinatfri teori generellt är mer kraftfull än teori som beror av val av koordinatsystem. Det kan jag absolut se som mer elegant, eftersom det är mer generellt (abstrakt) och därför kraftfullare.

Skillnaden mellan Euklidiska vektorer i fysiken och vektorer i den "rena" matematiken är dock inte att Euklidiska vektorer är koordinatfria. Det är inte något som är unikt för Euklidiska vektorer.

Den matematiska och mer generella definitionen av vektor beror inte av några koordinater. Jag tycker personligen den matematiska definitionen är finare än den i fysiken. Den matematiska är helt enkelt en formell definition medan i fysiken tänker man sig någon slags fysisk "pil" i rummet som har storlek och riktning. För en matematiker är det inte en godtagbar definition, utan det låter lite flummigt. Men jag förstår att det finns andra perspektiv än det rent matematiska, och jag tänker att det är mest en smaksak.

I matematiken behöver en vektor inte ha en geometrisk innebörd. Det är helt enkelt något mer abstrakt än så. Det kan så klart fortfarande användas geometriskt, men har förmågan att stå för andra mer abstrakta saker. Jag tycker därför att begreppet är mer kraftfullt.

Till exempel kan funktioner, matriser (linjära funktioner), polynom eller grafer vara vektorer i ett vektorrum. Det betyder att det finns en vektorstruktur där man kan addera och skalärmultiplicera elementen på ett rimligt sätt. Matematiker har alltså tagit de algebraiska egenskaper som fysiska vektorer besitter och hittat andra matematiska objekt som också besitter samma egenskaper. Ju mer sådana strukturer man hittar, desto kraftfullare blir teorin om vektorrum.

Ett annat exempel är Lie algebror (speciella typer av vektorrum) och Lie grupper, som används flitigt inom fysiken för att modellera symmetrier i olika fysiska system. Elementen i en Lie algebra är tangentvektorer, men de motsvarar inte alltid något så konkret; den mer generella matematiska definitionen av vektor blir väldigt användbar här.

Då är det viktigt att flödesintegraler, skalärer och gradienter inte ändrar värde beroende på vilket koordinatsystem studenten väljer. En koordinatoberoende formalism sköter detta automatiskt, det tycker jag är elegant och värdefullt.

Visst, det hade ju inte fungerat alls om så inte var fallet, eller åtminstone blivit väldigt jobbigt att korrigera. Jag håller med dig om att så mycket av teorin som möjligt ska vara obunden till val av koordinatsystem; det hade alla matematiker också hållit med om. Även i den rena matematiken så brukar standarden vara att utveckla så mycket som möjligt av teorin utan att behöva välja en godtycklig bas (dvs. maximera teorins koordinatfria del). Men återigen, skillnaden mellan en Euklidisk vektor och en vanlig vektor är inte att den ena är koordinatfri och den andra koordinatbunden.

Men återigen, skillnaden mellan en Euklidisk vektor och en vanlig vektor är inte att den ena är koordinatfri och den andra koordinatbunden.

Jag tänker att du kanske missförstår vad geometrisk betyder rent matematiskt? Flera av dina exempel är geometriska? En tangentvektor (och dess dual) är geometriska objekt. Frågan i tråden (som jag uppfattar den) gäller skillnaden mellan en geometrisk (dvs euklidisk) vektor och lägesvektorn (som är ett annat sorts geometriskt koncept).

Inom differentialgeometri definierar vi en geometrisk vektor $X$ som en $(1,0)$-tensor, dvs $X\in T_p(M)$, en klassisk tangentvektor. Den definitionen är kompatibel med en kontravariant vektor i klassisk affin tensoralgebra på euklidiska rum (dvs en euklidisk vektor). Har du en annan definition är jag idel öra. Försök använda en definition som är relevant för trådens frågeställare som förmodligen läser flervariabelanalys och vill förstå vektorfält, koordinattransformationer och integraler. Svaret på frågan får inte vara att allt som kan samlas ihop till en tupel är en tupel.

D4NIEL skrev:

Men återigen, skillnaden mellan en Euklidisk vektor och en vanlig vektor är inte att den ena är koordinatfri och den andra koordinatbunden.

Jag tänker att du kanske missförstår vad geometrisk betyder rent matematiskt? Flera av dina exempel är geometriska? En tangentvektor (och dess dual) är geometriska objekt. Frågan i tråden (som jag uppfattar den) gäller skillnaden mellan en geometrisk (dvs euklidisk) vektor och lägesvektorn (som är ett annat sorts geometriskt koncept).

Inom differentialgeometri definierar vi en geometrisk vektor $X$ som en $(1,0)$-tensor, dvs $X\in T_p(M)$, en klassisk tangentvektor. Den definitionen är kompatibel med en kontravariant vektor i klassisk affin tensoralgebra på euklidiska rum (dvs en euklidisk vektor). Har du en annan definition är jag idel öra. Försök använda en definition som är relevant för trådens frågeställare som förmodligen läser flervariabelanalys och vill förstå vektorfält, koordinattransformationer och integraler. Svaret på frågan får inte vara att allt som kan samlas ihop till en tupel är en tupel.

Jag tror det finns en missuppfattning här.

Först: Jag har tänkt att en Euklidisk vektor avser något som har en magnitud och en riktning (wikipedia). Jag skulle till exempel inte kalla en funktion $f$ i något vektorrum $Y^X$ av funktioner för en Euklidisk vektor bara för att den är oberoende av några koordinater. Det finns inte ens några koordinater; det finns ingen norm. 

Om du med Euklidisk vektor endast avser "koordinatfri vektor", så skulle $f$ vara en Euklidisk vektor. 

Min upfattning är att för dig så finns det två typer av vektorer: Euklidiska (geometriska), och koordinatbundna vektorer som exempelvis pseudovektorer. Du tänker att det alltid finns något koordinatrum närvarande. 

Med denna definition så förstår jag varför du ser Euklidiska vektorer som extra fina. När du säger "vanlig vektor" menar du alltså inte den generella matematiska definitionen. Den som jag pratar om.

Med mina exempel ville jag illustrera att koordinatfria (geometriska som du kallar det) vektorer inte är något unikt för Euklidiska vektorer. 

Med exemplet med Lie algebror ville jag illustrera att intuitionen om vektorer som "magnitud+riktning" blir svårt och att den matematiska formalismen blir nödvändig, speciellt när man har mer komplicerade mångfalder.

Eftersom du inte verkar tänka på Euklidiska vektorer på det sättet, så är väl det exemplet inte relevant.

Men: I matematiken finns det gott om andra typer av vektorer. För att vektorer ska ha magnitud behövs någon slags norm, men det generella vektorrummet behöver inte besitta någon sådan struktur. En vektor behöver alltså inte ha en storlek, eller längd.

Om du väljer att definiera Euklidiska vektorer som kontravarianta under koordinattransformationer behöver du använda koordinater i din definition (även om objektet du definierar är oberoende). Detsamma gäller om du kallar vektorn för en kontravariant (1,0)-tensor. Det förutsätter existensen av ett koordinatrum (t.ex. en mångfald; du skriver detta i ditt första inlägg). Även att det finns någon extra data om hur rummet kan transformeras.

Det är säkert användbart i differentialgeometri. Men det finns andra områden inom matematiken där det är en onödigt snäv definition, och denna extra data ej är nödvändig.

Vi menar alltså olika saker med "vektor". Jag tycker jag har varit tydlig med att jag avser den generella matematiska definitionen. 

En vektor i matematisk mening har inget med koordinater att göra. Så en Euklidisk vektor är bara "extra fin" om du jämför den med, säg, en pseudovektor. Men det är inget som är speciellt med dem bland koordinatfria vektorer generellt. Det var det som var min poäng. 

Tillägg: 28 aug 2025 18:11

Försök använda en definition som är relevant för trådens frågeställare som förmodligen läser flervariabelanalys och vill förstå vektorfält, koordinattransformationer och integraler. Svaret på frågan får inte vara att allt som kan samlas ihop till en tupel är en tupel.

Om du läser mina tidigare inlägg så ser du att jag säger att jag kan ha missuppfattat frågeställningen. Det vi diskuterar nu handlar inte längre om trådens frågeställning direkt, utan jag försöker bara reda ut saker som sagts.

Jag reagerade på sättet du uttryckte dig om begreppet vektor. Du framställde det som lite udda eller konstigt med att vilka tupler som helst kan ses som vektorer. Det är dock något som är vanligt för alla matematiker, och om du läser linjär algebra är det den mer generella definitionen som avses. Det var det jag reagerade på och ville klargöra. Om det är för avvikande från trådens ursprungliga ämne så kan vi avsluta diskussionen här. Jag är medveten om att detta inte är det mest relevanta för trådskaparen, men kanske kan det ändå vara till någon nytta.

Tillägg: 28 aug 2025 19:31

Förtydligande: Med $Y^X$ avser jag vektorrummet av funktioner $f:X\to Y$ med operationerna

$(f+g)(x) := f(x) + g(x)$ och

$cf(x) := f(cx)$.

Om till exempel $X=Y=\mathbb{R}$ finns mig veterligen ingen vettig norm man kan införa på detta vektorrum.

Gustor skrev:Jag tror det finns en missuppfattning här.

Jamen då är vi åtminstone överens om den saken :-)

Först: Jag har tänkt att en Euklidisk vektor avser något som har en magnitud och en riktning (wikipedia).

Ja, det är en bra början för att förstå skillnaden mellan sådant specialfall av vektorbegreppet och punkter i rummet (eller läges"vektorn"). Vi kanske också måste ställa krav på hur man omvandlar vektorer mellan olika koordinatbaser samt säga något om att vi vill betrakta dessa som geometriska objekt, oberoende av koordinatsystemet.

Vi får alltså inte säga att eftersom alla vektorer är tupler är lägesvektorn en vektor. Och som du själv förklarat, inte alla vektorer uppfyller villkoren. Till exempel får man inte addera lägesvektorer som om de vore vektorer. Det är också bra om vår förklaringsmodell förklarar varför $\nabla \cdot \mathbf{r}=n$, där $n$ är antalet dimensioner i rummet. Oavsett vilket koordinatsystem vi använder. Och dessutom vill vi ha regler som tillåter oss att korrekt beräkna värdet av vissa integraler oavsett hur vi transformerar våra koordinatbaser och så vidare.

Min upfattning är att för dig så finns det två typer av vektorer: Euklidiska (geometriska), och koordinatbundna vektorer som exempelvis pseudovektorer. Du tänker att det alltid finns något koordinatrum närvarande. 

Nej, om något ser jag geometriska tangentvektorer som en sorts deriveringsoperatorer som får verka på funktioner. $X(f)$ är alltså en sorts riktningsderivata. Men jag tycker att du lägger stor vikt vid att förklara för mig vad du tror att jag tror. 

Om du väljer att definiera Euklidiska vektorer som kontravarianta under koordinattransformationer behöver du använda koordinater i din definition (även om objektet du definierar är oberoende). Detsamma gäller om du kallar vektorn för en kontravariant (1,0)-tensor.

Nej, vi behöver inte använda några koordinater (i meningen att definitionen inte förutsätter komponenter) för att definiera mängden av alla $X: C^\infty_P\to \mathbb{R}$ som uppfyller

$X(af+bg)=a(Xf)+b(Xg)$

$X(fg)=(Xf)g(p)+f(p)(Xg)$

Där $f,g \in C^\infty_p$ och $a,b\in\mathbb{R}$. Notera hur det ser ut som reglerna för en derivering om du ersätter $X$ med $\partial _j$. För att göra ett vektorrum av det lägger vi till de naturliga reglerna 

$(X+Y)f=Xf+Yf,\quad (aX)f=a(Xf)$

Däremot använder vi gärna lokala koordinatrepresentationer när det behövs. De transformationssamband som gäller för olika tensorer härleds lätt utifrån en känd sats som säger att det alltid är möjligt att givet en karta $(U,h)$, där $U$ är en omgivning till en punkt $p\in U$ kan varje element $X\in T_P(M)$ ges representationen

$X=X^j\frac{\partial }{\partial x^j}$

Där koefficienterna $X^j\in C^\infty_p$ (det är de vi låtsas är den euklidiska vektorn i vissa sammanhang) ges av $X^jX=Xx^j$. Om vi sedan använder den inducerade (kanoniska basen) $\partial_j$ ramlar transformationsreglerna ut nästan helt automatiskt. Vill du ha en minikurs i tensoralgebra på mångfalder kanske vi kan starta en ny tråd eftersom det faktiskt är ganska intressant :-)

Jag reagerade på sättet du uttryckte dig om begreppet vektor. Du framställde det som lite udda eller konstigt med att vilka tupler som helst kan ses som vektorer.

Det jag sa var att "man får ha respekt för att det kan finns såväl litteratur som kollegor som tycker att varje slumpmässig uppsättning tal som kan samlas ihop till en tupel ska få äran att kallas vektor. Det är okej, så länge de inte påstår att det är en geometrisk vektor."

Jag tycker alltså det är okej, så länge man inte blandar ihop punkter, euklidiska vektorer och "lägesvektorer". Det jag inte gillar är att ni verkade hamna i fel slutsatser. I just den här tråden tycker jag det är lämpligt att fokusera på en kontext (till exempel euklidisk vektoralgebra i $E_3$) på en nivå som motsvarar en inledande kurs i flervariabelanalys. Det innebär att vi särskiljer punkter i rummet och vektorer.

Nej, om något ser jag geometriska tangentvektorer som en sorts deriveringsoperatorer som får verka på funktioner.

Är det inte en sorts Euklidiska vektorer, menar du?

Men jag tycker att du lägger stor vikt vid att förklara för mig vad du tror att jag tror.

Du behöver inte skriva så. Jag försöker reda ut var missförståndet uppstår. Du kan rätta mig om jag har fel utan att vara ovänlig. Jag har inte någon avsikt att förvanska det du försöker säga, utan jag försöker genuint återge det jag förstår från dina inlägg. Om jag har missuppfattat eller misstolkat dig så ber jag om ursäkt.

Nej, vi behöver inte använda några koordinater (i meningen att definitionen inte förutsätter komponenter) för att definiera mängden av alla...

Jag uttryckte mig lite slarvigt vid ett ställe: Jag menade inte att man explicit behöver använda koordinater i själva definitionerna, utan att definitionerna förutsätter existensen av koordinatrum (och eventuellt annan ytterligare struktur som t.ex. transformationer).

Om jag inte misstar mig definierar du här ett tangentrum vid någon punkt $P$, där $P$ är en punkt på en mångfald, t.ex. $\mathbb{R}^n$. Så den förutsätter åtminstone existensen av ett rum punkter. En mångfald är också utrustad med kartor till ett Euklidiskt rum, eller ett koordinatrum.

Om du definierar en Euklidisk vektor som en vektor som omvandlas på ett visst sätt vid koordinattransformationer, så använder du begreppt koordinater och begreppet transformation. Det förutsätter existensen av koordinater och transformationer.

Det är skillnad på ett vektorrum, och ett vektorrum som t.ex. är utrustat med en struktur för hur vektorerna ska transformeras på. Matematiskt så har det senare mer struktur.

Om du definierar en Euklidisk vektor som en kontravariant tensor, så ser jag inte heller hur du kan komma undan att referera till koordinater och/eller transformationer, eftersom du behöver ange vad kontravarians betyder.

Det verkar för mig som dessa definitioner förutsätter existensen av koordinatrum och annan, ytterligare struktur.

Det finns andra områden inom matematiken där denna extra struktur är onödig när man talar om vektorer. Det var bara det jag försökte säga.

Jag tycker alltså det är okej

Jag menar att det inte handlar om att respektera åsikter. Jag tyckte också sättet du uttryckte dig på fick det att framstå som att det finns ett "rätt" vektorbegrepp. Det var det jag reagerade på tidigare. Det kan så klart vara jag som misstolkat vad du menade.

Enligt den moderna matematiska definitionen är vektorer element i vektorrum. Jag tänker att det inte finns någon motsättning med de mer specifika, geometriska vektorbegreppen som används i fysik, differentialgeometri och dylikt.

I just den här tråden tycker jag det är lämpligt att fokusera på en kontext (till exempel euklidisk vektoralgebra i E3) på en nivå som motsvarar en inledande kurs i flervariabelanalys. Det innebär att vi särskiljer punkter i rummet och vektorer.

Det här låter rimligt, och det var också därför jag uppgav att jag antagligen misstolkat den urpsrungliga frågeställningen.

Ja, nu verkar vi någorlunda överens

Gustor skrev:

Om du definierar en Euklidisk vektor som en vektor som omvandlas på ett visst sätt vid koordinattransformationer, så använder du begreppt koordinater och begreppet transformation. Det förutsätter existensen av koordinater och transformationer.

En klassisk geometrisk (euklidisk) vektor förändras inte när koordinatsystemet ändras, den är definierad som en sträcka i rummet med fix längd och riktning. Men dess komponenter måste då ändras, nämligen precis så att vektorn ligger stilla. Jag tänker nu ge en mer precis förklaring till hur det hänger ihop med tangentvektorer och hur man går från en koordinatfri representation till lokala koordinater.

Den definition av tangentvektorer jag gav i mitt tidigare inlägg är koordinatfri. Naturligtvis är inte alla differentierbara mångfalder koordinatrum, däremot gäller lokalt för varje punkt $p\in M$ att det finns kartor $(U,h)$ så att $h(p)=(u^1,\dots,u^n)$ , där $h:U\to \mathbb{R}^n$. Av bekvämlighet brukar man också definiera koordinatfunktioner, $x^j: U\to \mathbb{R}$ så att $x^j=u^j\circ h$ och därmed $x^j(p)=u^j$ . Om vi nu tänker oss en punkt $p$ med två överlappande kartor $(U_1,h_1)$ och $(U_2,h_2)$ får vi ungefär följande situation för koordinatfunktionerna $x^j$ och $\bar{x}^j$

Som jag nämnde i mitt tidigare inlägg finns det en sats som säger att vi i en lokalt för $p\in U_1\cap U_2$ kan uttrycka vektorn $X$ som

$X=X^h\frac{\partial }{\partial x^h}=\bar{X}^j\frac{\partial }{\partial \bar{x}^j}$

Notera att uttrycken är koordinatoberoende (men inte koordinatfria). Komponenterna $X^h=Xx^h$ och $\bar{X}^j=\bar{X}\bar{x}^j$ är unikt definierade ($X^j\in C^\infty_p$). Kombinerar vi detta får vi

$\bar{X}^j=X^h\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^h}$

Detta talar alltså om hur tangentvektorns komponenter förhåller sig till varandra i lokala koordinater. Vi känner också igen det som det transformationssamband som bestämmer hur euklidiska vektorers komponenter måste ändras precis så att vektorn ligger stilla vid ett koordinatbyte. Man behöver inte, men man kan, använda detta som ett definierande samband. Transformationsmatrisen för ett basbyte är koordinatoberoende (men inte koordinatfri).

Om du läser mitt inlägg igen så var min poäng bara att du har ytterligare struktur i dina definitioner av Euklidiska vektorer, och att denna struktur inte alltid är nödvändig i andra områden i matematiken, där man endast brukar definiera vektorer som element i vektorrum. Förstår du vad jag menar då?

Jag menar inte att mångfalden i sig är ett koordinatrum direkt, men den förutsätter existensen av kartor till $R^n$. Det står också i mitt senaste inlägg.

Så din definition är inte lika generell som hur vektorer definieras i exempelvis linjär algebra. 

På samma sätt skulle jag definiera en tensor som ett element i en tensorprodukt.

Gustor skrev:

Om du läser mitt inlägg igen så var min poäng bara att du har ytterligare struktur i dina definitioner av Euklidiska vektorer, och att denna struktur inte alltid är nödvändig i andra områden i matematiken, där man endast brukar definiera vektorer som element i vektorrum. Förstår du vad jag menar då?

Så på frågan "Vad är skillnaden mellan en punkt och en euklidisk vektor?" svarar du att eftersom det finns andra områden inom matematiken där man bara ser vektorer som element i linjära rum är en euklidisk vektor en tupel. Vi kan inte kräva att få mäta dess längd eftersom man då skulle behöva en skalärprodukt eller en affin koppling och det är ju ytterligare struktur!

Eller vad är ditt problem med ytterligare struktur?

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar. Det har jag inte sagt. Varför hittar du på saker?

Här är vad jag har sagt:

Det är säkert användbart i differentialgeometri. Men det finns andra områden inom matematiken där det är en onödigt snäv definition, och denna extra data ej är nödvändig.

och

Det finns andra områden inom matematiken där denna extra struktur är onödig när man talar om vektorer. Det var bara det jag försökte säga.

samt

Om du läser mitt inlägg igen så var min poäng bara att du har ytterligare struktur i dina definitioner av Euklidiska vektorer, och att denna struktur inte alltid är nödvändig i andra områden i matematiken, där man endast brukar definiera vektorer som element i vektorrum

Jag har även sagt att

Du har säkert rätt, jag kan ha missuppfattat frågeställningen. Jag tänkte på vektorer mer allmänt istället för Euklidiska vektorer specifikt.

och

Det här låter rimligt, och det var också därför jag uppgav att jag antagligen misstolkat den urpsrungliga frågeställningen.

samt

Om du läser mina tidigare inlägg så ser du att jag säger att jag kan ha missuppfattat frågeställningen. Det vi diskuterar nu handlar inte längre om trådens frågeställning direkt, utan jag försöker bara reda ut saker som sagts.

Det jag har sagt är att enligt de definitioner på Euklidisk vektor du angett, så förutsätter samtliga existensen av ytterligare struktur, exempelvis mångfalder eller transformationer.

Det är inget fel med dina (redigering: kanske dumt att kalla dem dina, jag menar de du angav) definitioner. Tvärtom är de allmänt vedertagna definitioner inom Euklidisk geometri, differentialgeometri och dylikt. Det är ingen kritik, utan hela min poäng är bara att en matematiker brukar definiera vektorer (inte Euklidiska vektorer specifikt) abstrakt på ett sätt som inte förutsätter någon extra struktur som exempelvis mångfalder, koordinatrum och transformationer. Ett bra exempel är funktioner: de är varken pilar eller listor av tal, men kan ändå sägas ha vektor-lika egenskaper. 

Det är skillnaden på vad en som studerar fysik skulle definiera som vektor och vad en som studerar matematik skulle definiera som en vektor.