8 svar

451 visningar

naytte behöver inte mer hjälp

Vad är skillnaden på punktvis och likformig konvergens?

Halloj!

Jag håller på att läsa på om punktivs och likformig konvergens men jag förstår inte riktigt skillnaden. Jag ser att det finns en skillnad i formulering men jag förstår inte riktigt hur den gör någon skillnad.

Definitionerna jag har sett är följande:

En funktionsföljd $(f_n: (D_f\subseteq \mathbb{R})\to \mathbb{R})_{n\in\mathbb{N}}$ konvergerar punktvis mot $f$ om och endast om för alla $x\in D_f$ :

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n\left(x\right) = f\left(x\right)$

Samma följd konvergerar likformigt mot $f$ om och endast om:

$\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D_f}\left| f_n\left(x\right) - f\left(x\right)\right|=0$

Jag förstår inte riktigt vad skillnaden på dessa definitioner är rent praktiskt. Vi kräver alltså i det andra fallet att den minsta övre gränsen av "avståndet" mellan funktionerna ska gå mot noll, medan vi inte kräver detta i det övre fallet.

Några frågor:

Finns det funktionsföljder som är punktvis konvergenta men inte likformigt konvergenta och tvärtom?
Kan en funktionsföljd vara punktvis eller likformigt konvergent mot mer än en funktion?

Jag undersökte för $0<a<1$ funktionsföljden $\displaystyle (f_n : [0, a] \to \mathbb{R}, x\mapsto x^n)_{n\in \mathbb{N}}$ men här var följden, om jag tänkte rätt, både likformigt och punktvis konvergent och konvergerade i båda fallen mot nollfunktionen. Så denna gav mig inte direkt några insikter... :(

EDIT: inser nu i mitt exempel att om vi arbetar med det högeröppna intervallet $[0, 1)$ konvergerar följden punktvis mot nollfunktionen men inte likformigt.

Skriver man ut $\epsilon$ - $N_0$ -definitionen av konvergens av funktionsföljder, så ser man skillnaden ganska tydligt:

Punktvis konvergens $f_n \to f$ på en mängd M:

Givet $\epsilon > 0$ och punkten $x \in M$ , så finns det $N_0$ som beror av $x$ sådant att $|f(x) - f_n(x)| < \epsilon$ för varje $n > N_0(x)$ .

Likformig konvergens $f_n \rightrightarrows f$ på en mängd M:

Givet $\epsilon > 0$ , så finns det ett gemensamt $N_0$ som funkar för alla $x \in M$ sådant att $|f(x) - f_n(x)| < \epsilon$ för varje $n > N_0$ .

Den viktiga skillnaden är att likformig konvergens bevarar kontinuitet, men det gör inte punktvis konvergens, d.v.s.

Om $f_n \to f$ likformigt på $M$ och alla $f_n$ är kontinuerliga, så är även $f$ kontinuerlig.
Om $f_n \to f$ punktvis på $M$ och alla $f_n$ är kontinuerliga, så kan det hända att $f$ inte är kontinuerlig.

Ett typiskt exempel (som du faktiskt redan nämnt): $f_n(x) = x^n$ konvergerar punktvis till $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}0&\text{då }0\le x < 1\\1&\text{då }x=1\end{array}\right.$ på intervallet $[0, 1]$ , men inte likformigt. Alla $f_n$ var kontinuerliga på $[0,1]$ , men $f$ är inte det

Jag tror att jag begriper det nu.

Så för punktvis konvergens kräver vi att $N_0$ ska bero av det värde på $x$ där vi utvärderar funktionen, och då kan det hända att följden konvergerar "väldigt fort" på vissa ställen och "väldigt långsamt" på andra.

För likformig konvergens kräver vi däremot att $N_0$ ska vara oberoende av $x$ (endast bero på $\epsilon$ ), så följden konvergerar "lika fort" överallt?

naytte skrev:
punktvis konvergens: följden konvergerar "väldigt fort" på vissa ställen och "väldigt långsamt" på andra.

likformig konvergens: följden konvergerar "lika fort" överallt?

Exakt.

Jag skulle vilja försöka bevisa att kontinuitet bevaras. Jag utgår från följande:

Låt $\displaystyle \{ f_n:\left(D_f\subseteq\mathbb{R}\right)\to \mathbb{R} \}_{n\in\mathbb{N}}$ vara en följd funktioner sådan att varje $f_n$ är kontinuerlig i varje punkt $a\in D_f$ och att följden konvergerar likformigt mot en funktion $f$ . Då vet vi följande för alla sådana $a$ och alla naturliga $n$ :

$\displaystyle \left(\forall \varepsilon>0\right)\left(\exists\delta>0\right)\left(\forall x\in D_f\right):\left|x-a\right|<\delta\implies\left|f_n\left(x\right)-f_n\left(a\right)\right|<\varepsilon$

$\displaystyle \left(\forall \varepsilon>0\right)\left(\exists N>0\right)\left(\forall n\ge N\right)\left(\forall x\in D_f\right):\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\varepsilon$

Fixera nu $\varepsilon >0$ . Då finns det $N>0$ sådana att för alla $n\ge N$ :

$\displaystyle \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}$

Det finns också $\delta >0$ sådant att:

$\displaystyle \left|x-a\right|<\delta\implies \left|f_n\left(x\right)-f_n\left(a\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}$

Vi kan skriva om och sedan tillämpa triangelolikheten:

$\displaystyle\left|f\left(x\right)-f\left(a\right) \right|=\left|f\left(x\right)-f_n\left(x\right)+f_n\left(x\right)-f_n\left(a\right)+f_n\left(a\right)-f\left(a\right)\right|$

$\displaystyle \le\left|f\left(x\right)-f_n\left(x\right) \right|+\left|f_n\left(x\right)-f_n\left(a\right) \right| + \left|f_n\left(a\right)-f\left(a\right) \right|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon$

Slutsats:

$\displaystyle \left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists\delta>0\right)\left(\forall x\in D_f\right):\left|x-a\right|<\delta\implies \left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|<\varepsilon$

Detta visar alltså att om följden består av kontinuerliga funktioner och konvergerar likformigt mot en funktion $f$ måste $f$ också vara kontinuerlig.

$\blacksquare$

Ser detta OK ut?

Bra jobbat! ...men det är faktiskt en detalj där man behöver vara mer försiktig.

Värdet på $\delta$ beror på $n$ då man pratar om kontinuitet hos olika funktioner $f_n$ . Det är alltså inte bara $\varepsilon>0$ som behöver fixeras, utan också $n \ge N$ :

naytte skrev:
...
Fixera nu $\varepsilon >0$ . Då finns det $N>0$ sådana att för alla $n\ge N$ :

$\displaystyle \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}$

Fixera ett $n \ge N$ .

Givet ett sådant $n$ , så finns det också $\delta >0$ sådant att:
...

Ah, så sant!

Men resten av argumentet hade blivit likadant, eller hur?

Jajamän

Tack för hjälpen! :D

Svara

Visa senaste svar