Vad ger (den obestämda) integralen av en täthetsfunktion?

Halloj!

Låt säga att vi för en kontinuerlig slumpvariabel $X$ har någon täthetsfunktion $f_X$ . Jag förstår det som att vi då kan beräkna:

$\displaystyle \mathbb{P}\left(a\le X\le b\right)=\int_{a}^{b}f_X\left(x\right)\mathrm{d}x$

Stämmer detta?

Vad hade då hänt om man hade försökt ta den obestämda integralen istället för en bestämd integral, alltså:

$\displaystyle\int f_X\left(x\right)\mathrm{d}x$

Vad är det för typ av funktion man får ut då med avseende på slumpvariablen $X$ ? Kan den också säga oss något om hur $X$ är fördelad?

Spontant skulle jag vilja säga att det är täthetsfunktionen som talar om hur X är fördelad.

Den obestämda integralen är bara en mängd av funktioner som har det gemensamt att de alla har derivatan f(x) (och skiljer sig åt av en konstant).

Jag undrar om det du skriver kanske är lite "baklänges"? Är det inte så att man genom att utgå ifrån
$P (X \leq c) = \int_{- \infty}^{c} f_{X} (x) d x$ härleder uttrycket du börjar ifrån?

Men det är ju också så att om du väljer en (valfri) av de obestämda integralerna F(x) till f(x) så är P(a<X<b)=F(b)-F(a) oberoende av vilken av dem du väljer. Men det säger inte så mycket om den underliggande fördelningen.

Man kan ju bygga massa geometrisk intuition för sannolikhet genom att se det som areor (och volymer när vi har fler slumpvariabler). Jag vet att du gillar din integralkalkyl så du kan förmodligen själv (med vetskapen att arean betecknar den faktiska sannolikheten för ett intervall för slumpvariabeln) klura ut en bra tolkning av den obestämda integralen. Personligen tror jag den är ganska är meningslös dock.

Detta är bara en primitiv tanke men det känns ju som att den obestämda integralen av en PDF borde ge den kontinuerliga motsvarigheten till en PMF för en diskret sannolikhetsfördelning. Samtidigt har ju en kontinuerlig slumpvariabel alltid sannolikhet noll för enskilda värden så det kanske inte håller.

Känner någon till någon fin täthetsfunktion vars obestämda integral kan uttryckas i elementära funktioner?

Ja, asså man kallar det fördelningsfunktion vilket är precis som du säger den kontinuerliga motsvarigheten till en sannolikhetsfunktion för diskreta SV. Men man definierar den så som MC_nisse skriver:

$F(x)= \int_{-\infty}^xf(t)dt$ .

Alltså en funktion vars derivata ger täthetsfunktionen.

Tillägg: 16 maj 2025 13:28

Likformig fördelning är ganska snäll.

Hmm.

Det kanske skulle hjälpa att förstå hur man definierar täthetsfunktioner och fördelningsfunktionen för kontinuerliga fördelningar. Jag hittade följande definition efter lite efterforskningar på internet:

The Cumulative Distribution Function, CDF (sometimes called also Probability Distribution Function) of a random variable $X$ , denoted by $F_X(x)$ , is defined to be that function with domain the real line and counterdomain the interval $[0;1]$ which satisfies:

$F_X(x) = \mathbb{P}[X\le x] = \mathbb{P}[\{\omega: X(\omega) \le x\}]$

for every real number $x$

Detta är en ganska lockande definition. Den förklarar också vad täthetsfunktioen betyder (alltså helt enkelt derivatan av $F_X(x)$ , vilket även du påpekade, MrP). Men förutsätter denna inte att vi redan känner vårt sannolikhetsrum? (eftersom vi redan har ett sannolikhetsmått $\mathbb{P}$ ).

Tillägg: 16 maj 2025 13:58

Inser nu att det var detta MC_Nisse diskuterade men jag behövde smaka lite på det först.

Tillägg: 16 maj 2025 14:09

Insåg nu att jag har en mycket bredare fråga om detta. Skapar en ny tråd istället för att deraila denna.

Svara

Visa senaste svar