Vad innebär det att uttrycka en avbildning i en bas?

Om säg att p är ett polynom i domänen. Kalla basen i domänen för A och basen i målmängden för B. För matrisen, kalla den [F], så skall det gälla att

[F(p)]_B = [F][p]_A.

Här betyder [q]_X en kolonnvektor med koordinaterna för polynomet q relativt basen X.

Tex [2x³ - 4x + 3]_A = $\left[\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\\ 2\end{array}\right]$.

Yes, okej!

Frågan är bara hur man ska hitta en sådan matris. Jag såg att man kunde bestämma $[F(1)]_{\{1,x\}}$, $[F(x)]_{\{1,x\}}$ osv. och sätta dessa som kolonner i $[F]$. Jag har suttit en stund nu och försökt komma fram till varför detta fungerar men tyvärr utan framgång...

Vänta, jag tror jag fick till det nu.

Börja med en vektor $p\in \mathcal{P}_3$. Då vet vi att denna kan skrivas $p=\sum_{i=0}^{3}\alpha_i x^i$.

Betrakta sedan $[F(p)]_{\{1,x\}}$. Då $F$ är en linjär avbildning har vi följande:

$\displaystyle \left[F(p)\right]_{\{ 1,x \}}=\sum_{i=0}^{3}\alpha_i\left[F(x^i)\right]_{\{ 1,x \}}$

$\displaystyle =\begin{bmatrix}[F(1)]_{\{ 1,x \}},[F(x)]_{\{ 1,x \}},[F(x^2)]_{\{ 1,x \}},[F(x^3)]_{\{ 1,x \}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_0\\\alpha_1 \\\alpha_2\\\alpha_3\end{bmatrix}_{\{1,x,x^2,x^3\}}$

Detta innebär i vårt fall att avbildningsmatrisen $[F]$ blir:

$\displaystyle \begin{bmatrix}-3 & -2 & -1 & 0\\0 & 1 & 2 & 3\end{bmatrix}$

Stämmer detta?

Ja, stämmer. Snyggt.

Okej, tack!

En notationsfråga också. När vi skriver t.ex. "$[F(x)]_{\{1,x\}}$", menar vi då i ord "koordinatmatrisen för $F(x)$ i basen $\{1,x\}$"?

Jag har bara antagit det hittills men det är ju bra att få det bekräftat.

Ja, precis.

Och tolkar jag det rätt som att ordningen av elementen i basen spelar roll? Vi har ju ordnat dem $\{1, x\}$, så t.ex. koordinatmatrisen för $x$ blir då $[0,1]^T$. Men om vi istället hade ordnat basen $\{x,1\}$, hade koordinatmatrisen för $x$ då blivit $[1,0]^T$?

Korrekt.

Varför anger vi koordinatmatrisen som en kolonnmatris (istället för en radmatris)? Finns det någon särskild anledning till det eller har man helt enkelt bestämt att man gör så?

Jag tror det bara är konvention. Om det finns en djupare anledning så ligger det över min lönegrad.

Okej, tack så hemskt mycket för all hjälp! :D