Vad menar frågan med att cirkelbågen passerar genom punkten 1?

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan:

På a)-uppgiften satte jag $w = T\left(z\right)$ och inverterade $T$ så att man fick $z = T^{-1}\left(w\right)$ . Sedan studerade jag vilka krav $\mathrm{Re}z>0$ sätter på $\omega$ och fick fram att området avbildas på

$\displaystyle \mathcal{C}=\{ w \in \mathbb{C}:|w|<1 \}$

Men på b)-uppgiften blir jag lite fundersam. Om vi ansätter $w=x+iy$ har vi på kartesisk form

$\displaystyle z=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i\frac{2y}{(1-x)^2+y^2}$

Tydligen ska realdelen av detta uttryck gå genom $z=1$ för godtyckliga $c$ , alltså $x=1$ och $y=0$ . Men det går ju inte, eftersom man får division med noll då...?

Det är nog $T(\infty) = 1$ , så varje kurva $\gamma(t)$ som går igenom oändligheten i riemannsfären $\mathbb{S}$ / enpunktskompaktifieringen $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ , avbildas på en kurva $T(\gamma(t))$ som går igenom punkten $1$ .

Det som återstår att visa är att varje lodrät linje avbildas på en cirkel(båge). $T$ är ju en möbiusavbildning, så ni kanske har en sats som säger just detta.

Alternativt kan man sätta $z=c+i\,y$ , där $c \in \mathbb{R}$ är fixt och $y \in \mathbb{R}$ varierar och man undersöker bilden av funktionen $y \mapsto T(c + i\,y)$ .

Hej, tack för svar!

Jag är har inte stenkoll på Möbiusavbildningar och gillar inte att memorera saker så jag hoppades att man skulle kunna resonera sig själv fram utan att hänvisa till annat.

Om $\mathrm{Re} z = c$ har vi också

$\displaystyle \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}=c$

Att avbildningen går genom punkten $1$ är väl detsamma som att säga att denna ekvation ska satisfieras av $w=1$ ? Eller är tanken att man ska använda någon utvidgad aritmetik? Om man fick gångra upp nämnaren och sedan stoppa in $w = 1$ skulle saken vara klar, men det är ju illegalt.

Det finns oändligt många lodräta linjer - varje värde på $c\in\mathbb{R}$ ger en annan linje. Det påstås att bilden av varje sådan linje går igenom punkten $1$ . Om detta påstående verkligen stämmer, så kan $w=T(z)$ inte inverteras just när bilden är w=1+0i, d.v.s. $T^{-1}$ är odefinierat i punkten $1$

Ah, så måste det ju förstås vara!

Poängen är alltså att det i så fall skulle finnas oändligt många värden på $z$ som avbildas på samma punkt $w$ och då finns det ingen invers?

Jag var slarvig och borde ha uttryckt mig bättre när det gäller inverterbarheten.

Alla parallella linjer (oavsett $c$ ) skär varandra i en punkt, nämligen $\infty$ . Det innebär att $T^{-1}(1) = \infty$ , men det går inte att bestämma vilken av linjerna det blir eftersom alla linjerna går igenom oändligheten i $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$

När du beräknar gränsvärdet $T^{-1}(w)$ då $w \to 1+0i$ , d.v.s. $(x,y) \to (1,0)$ i ditt uttryck för inversen (obs: jag har inte kontrollräknat)

$\displaystyle z=\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i\frac{2y}{(1-x)^2+y^2} = \infty$

(gränsvärdet taget i kompaktifieringen $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ )

Svara

Visa senaste svar