Vad menar man när man tillskriver egenskaper som "massa" tal?

"Intellekt" associeras vanligen inte med något som direkt går att mäta. Massa är en egenskap hos fysiska objekt som kan definieras och verifieras experimentellt. Något sådant finns inte för begreppet intellekt. Men i övrigt hade det väl gått hur bra som helst att säga att person A:s Intellekt är 2 gånger B:s intellekt. Det är alltså enligt mig inte en fråga om att vissa fenomen går att mäta med tal och andra inte, utan snarare vilka fenomen och begrepp som är användbara att kvantifiera.

Olika objekt har olika massa, och för att dokumentera och jämföra massor har man infört en standardenhet kilo. Har vi ingen sådan standard förlorar vi möjligheten att jämföra olika massor. Som du är inne på skulle man kunna tänka sig en slags ordning av alla möjliga massor. Men rent praktiskt skulle det vara väldigt bökigt att dokumentera, och vi skulle inte direkt kunna avgöra hur två massor förhåller sig till varandra mer än i vilken ordning de är i. Införandet av en baspunkt, eller en standardenhet, löser detta problem. Vi kan då direkt avgöra att föremål A är 10 gånger så massivt som föremål B, vilket innebär att det tar 10 st B för att balansera ett A på vågen. Annars skulle vi bara kunna konstatera att B < A. Det innebär också att vi kan kommunicera mycket mer exakt. Ett recept som säger att man ska ha i "en näve" mjöl är inte lika reproducerbart som ett recept som anger en specifik vikt eller volym.

Talsystem och tal används på samma sätt för att kunna referera till jämföra olika kvantiteter mer generellt. Om jag vill förklara för dig att jag behöver 12 st strumpor till mina 3 katter, så kan jag förmedla det konceptet enkelt med symbolen 12, snarare än att behöva visa dig katterna och peka på varje katts ben, eller på mina fingrar, eller något liknande. (Lite svårt att föreställa mig hur man skulle gå tillväga utan ett talsystem...).

Jag är med på vad du säger, men jag har ändå en del konceptuella problem med din beskrivning.

Låt säga att vi börjar tilldela objekt ett tal som ska motsvara deras massor. Vad är det som säger att dessa massor följer samma aritmetik som de reella talen, eller att de ska gå att ordna i storlek på ett sätt som speglar deras fysikaliska egenskaper och som tydligen är identiskt med hur man ordnar $\mathbb{R}$? Jag förstår inte riktigt heller varför balansvågen kräver en skala. Det hade väl fungerat lika bra att bara använda ett tal? Detta är högst icke-trivialt, tycker jag. 

Någonstans måste man, tror jag, identifiera att massor "beter sig som en delmängd av de reella talen" i den bemärkelsen jag beskrev ovan, men exakt hur man ska göra detta är oklart. Det finns ju knappast en isomorfi mellan mängderna eftersom flera massor kan vara lika massiva. Däremot kanske man kan se en homomorfi mellan mängderna av massor och en delmängd av de reella talen? Då får man kanske "skala" på köpet också.

Med just balansvågexemplet är ovanstående kanske inget större problem eftersom man empiriskt kan testa "massaritmetiken" och ordning efter att man har börjat tilldela tal. Men det känns som om man behöver något mer allmängiltigt när man frågar sig vad det betyder att tilldela tal till storheter i allmänhet. Helst vill vi ju inte ha något som konceptuellt är beroende av ett särskilt experiment.

Jag hittade imorse att detta kallas för "measurement theory".

Vad är det som säger att dessa massor följer samma aritmetik som de reella talen

De reella talen är en konceptuell modell som bland annat är användbar för att modellera fysikaliska kvantiteter. Vi människor har utformat talsystemet just så. Det är inte en slump, men jag skulle snarare se det som att de reella talen följer de experimentellt observerade fysikaliska kvantiteternas lagar bra än tvärtom.

Jag förstår inte riktigt heller varför balansvågen kräver en skala. Det hade väl fungerat lika bra att bara använda ett tal? 

Ja, om du själv står och väger olika frukter kan du skriva ner deras relativa vikter (jag vet inte riktigt hur dock), utan att någon speciell frukt får vikten 1. Du kan tilldela dem tal endast på sådant sätt att deras relativa vikter är konsekventa. Du märker snart att om du lägger till och tar bort frukter på vågen att massorna läggs ihop eller tas bort på ett sätt som du kan beskriva med en slags additionsprincip. Du kan t.ex. inte låta det stora äpplet vara 5 om de två små kiwifrukterna är 2 var och vågen är balanserad.

Problemet uppstår när du vill kommunicera dina resultat till resten av forskarvärlden. Hur ska du beskriva ditt experiment så att andra kan reproducera och verifiera det? Hur ska du jämföra dina resultat med andra fruktvägare som gjort andra val än du? Att etablera en standardenhet ger ett svar på dessa frågor.

Det är inte en slump, men jag skulle snarare se det som att de reella talen följer de experimentellt observerade fysikaliska kvantiteternas lagar bra än tvärtom.

Emfatiskt medhåll!

Nu har vi ju studerat ett väldigt specifikt exempel, nämligen massor i en balansvåg, men vi borde väl (kunna) abstrahera något från den här proceduren som vi kan använda i andra sammanhang, och ge formell mening till vad det beytder att "mäta" något med tal i allmänhet? Skulle du hålla med om att det är rimligt att vi på något sätt (även om det är lite oklart exakt hur) har identifierat en "struktur" hos egenskapen massa med "strukturen" hos en delmängd av de reella talen, vilket tillåter oss att enligt någon regel tillskriva massor reella tal?

Tillägg: 1 jan 2026 02:14

Jag hittade detta, ganska korta dokument som verkar behandla mina frågor här, men jag har inte haft tid att läsa igenom det än:

https://tedsider.org/teaching/structuralism_18/crash%20course%20on%20measurement%20theory.pdf

Jag läste igenom Sider-texten men jag fann den inte så upplysande. Sider verkar skriva från ett metafysisk infallsvinkel, något jag inte är så bevandrad med, men upplevdes av mig bara som en omarbetning av vetenskapsteoretiska begrepp till en definitionsdriven matematikkonstruktion. Som Sider skriver själv:

Measurement theory is a theory of the use of numbers to measure quantities. Itwas developed primarily by philosophers of science, who had epistemologicalconcerns in mind; but it can also be used in metaphysics.

(sida 4 i Sider)

Jag tycker att de pragmatiska och empiriska idéerna man finner i vetenskapsteorin är mycket mer upplysande om relationen mellan matematik och naturvetenskap. 

Siders utläggning i artikeln känns mest som matematisering av språk vilket jag också tycker är en kul aktivitet som kan resa frågor man kan utforska med praktisk vetenskap, men i detta fall kommer vi inte till något nytt för mig. Hans utläggning om "Arkimediska egenskapen" känns exempelvis (utanför den metafysiska kontexten) helt irrelevant eftersom inga oändliga processer av det slaget kan operationaliseras så att.

De flesta tekniska universitet har kurser i vetenskapsteori. Om du intresserar dig för detta skulle jag rekommendera att du läser en sådan kurs. 

Edit:

Jag hakar även upp mig på att använda massa som en enkel storhet att utgå från när man diskuterar storhetskonceptet när massa råkar vara en av de minst 'rimliga storheterna'.

Massa-energi-ekvivalensen medför att massa väldigt demonstrativt inte kan bevaras på det sätt som 'konkatenering' konceptuellt förutsätter. 

Det jag gillade med artikeln är att den åtminstone i någon mening besvarar frågan om varför man kan använda tal överhuvudtaget för att beskriva icke-numeriska egenskaper hos vissa ting, och vad som krävs för att en egenskap ska gå att beskriva med tal överhuvudtaget. Ingen av dessa frågor är triviala för mig även om de naturligtvis känns triviala eftersom vi är så vana vid att använda tal i naturvetenskaperna. Menar du att dessa frågor besvaras bättre på ett annat sätt i en kurs i vetenskapsteori? I så fall kan det vara värt att kolla in några kurser på ämnet.

Vad gäller att Sider använde massa kanske man kan förlåta honom genom att tänka att han diskuterar ett makroskopiskt massbegrepp där additivitet fungerar "bra nog".

En känd sats säger att varje Dedekindkomplett kropp med väldefinierad ordningsrelation har en unik strukturell mängdisomorfi $f: K\to R$ som bevarar såväl addition som multiplikation och ordning.

Kan du visa att din mängdmodell av verkligheten kan idealiseras tillräckligt nära villkoren finns det ju inget som hindrar att du jämför "struktur" genom satsen ovan eller något liknande. 

En isomorfi är kanske ett för starkt krav. Vad gäller just massa kan ju flera objekt ha samma massa, alltså mappas till samma reella tal. Men en homomorfi borde väl duga?

Som SeriousCephalopod påpekar så slutar ju massa vara additiv om saker blir tillräckligt små. Hur ska man tänka kring vårt massbegrepp där? Då "försvinner" ju operationen $\oplus$ från vår mängd av massor, om man vill tänka i linje med det som Sider föreslår (vilket är lockande). När vi studerar vårt makroskopiska massbegrepp har vi ju en särskild homomorfi $f$ från $(X,\preceq, \oplus)$ till $(\mathbb{R}, \le, +)$ som, om jag har förstått Siders resonemang rätt, också unikt bestämmer vilken skala vi använder. Men om saker blir tillräckligt små kan vi väl knappast använda samma homomorfi längre så det är lite mystiskt att man fortsatt kan använda samma skala utan problem.

Jag skulle föreslå att du börjar med något lite enklare, sedan kan du utöka resonemanget. Till exempel skulle du kunna försöka modellera mängden mätvärden man kan tänkas få om man experimentellt försöker mäta en massa.

Tänk på att i ZF byggs alla mängder rekursivt upp ur den tomma mängden $\emptyset$, till exempel $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Att den tomma mängden $\emptyset$ existerar är ett axiom. Hur vi får skapa, sätta ihop och separera mängder styrs strikt av ytterligare axiom.

Språkligt kan vi ibland lite slarvigt säga ”mängden av alla gröna bilar” eller ”mängden av alla mätbara massor”, men i teoretiska sammanhang måste vi vara intensivt medvetna om att sådana uttryck inte representerar riktiga mängder. En mängd får endast existera om den kan byggas stegvis ur tidigare mängder enligt axiom. Varje mängd kan alltså direkt eller indirekt sägas vara en mer eller mindre komplex sammansättning av $\emptyset$.

För att ha någon nytta av våra teoretiska mängder behöver vi låta dem representera något. Vi skulle till exempel kunna tillskriva tre bilar index (två av bilarna har samma färg eller samma massa för senare exempel)

1. grön Toyota
2. gul Mercedes
3. grön Volvo

Nu kan vi bilda mängden $B=\{1,2,3\}$ som representation av våra bilar. Vi kan också koda in ytterligare information med fler mängder, till exempel genom att bilda par

$(grön, Toyota)= \{\{grön\}, \{grön\,\, Toyota, grön\}\}$

Vi krånglar medvetet till det så för att undvika naiva mängder som

$\{a : a \notin a\}$

eftersom obegränsad separation skulle leda till Russells paradox. När vi talar om ”mängden av alla mätvärden” $M$ menar vi att vi har en modell där varje mätvärde får ett ID-nummer, som i detta fall kan vara ett reellt tal. Eftersom de reella talen redan är en mängd i ZF är vår modell $M$ en matematisk modellmängd som kan representera mätvärdena på ett meningsfullt sätt.

Vilka övriga egenskaper modellen ska ha bestämmer vi själva. En god modell bör efterlikna verkligheten, men inte vara så komplex att den blir opraktisk.

De minsta massor vi kan uppmäta och särskilja är av storleksordning $10^{-18} \mathrm{kg}$. Dessutom är energin kvantiserad. Uppenbarligen kan vi inte mäta saker hur noga som helst. Ska vi följa verkligheten är $M$ alltså inte Dedekindkomplett. Däremot kanske det skulle vara bekvämt att låtsas? Det finns något romantiskt tilltalande med en matematisk idealisering där $M\simeq \mathbb{R}^+$. 

Som jag nämnde ovan finns det en känd sats säger att varje Dedekindkomplett kropp,  $K$, med väldefinierad ordningsrelation har en unik strukturell mängdisomorfi $f: K\to \mathbb{R}$ som bevarar såväl addition som multiplikation och ordning.

Frågan är hur väl $M$ följer sådana krav? En Dedekindkomplett kropp $K$ ska per definition vara arkimedisk, vilket innebär att det inte finns några infinitesimala eller oändligt stora element relativt de andra. Om vi väljer att försöka idealisera $M$ åt det hållet måste vi fundera över massornas inbördes förhållanden. Det är uppenbart att inget kan ha större massa än universum ($U$) eller mindre massa än minsta uppmätbara $\varepsilon$, alltså finns det självklart ett naturligt tal $N=[U/\varepsilon]+1$ sådant att $\forall x, \forall y\in M\quad Nx>y$

För att ytterligare närma oss vår idealisering kan vi anta att massornas mätvärden är sammanhängande och utgör en Dedekindkomplett mängd. Då gäller $M\cong \mathbb{R}$ (som ordnad mängd). Men faktum är att vi samtidigt har hittat en idealiserad sammanhängande delmängd av de positiva reella talen.

$M\subseteq \mathbb{R}^+$

Vi behöver inte ens använda isomorfi, bara fantasi och vår förmåga att bygga en rimlig modell. Men det gäller också att $M\simeq \mathbb{R}$, om man nu vill lägga till ytterligare struktur, till exempel addition och multiplikation (låta $M$ vara en Dedekindkomplett kropp). Notera att vi måste göra stor sak av skillnaden mellan $\simeq$, $\subseteq$, och $\cong$, något som Sider helt verkar strunta i. Jag är själv anhängare till yolo-matematik, men i just det här fallet måste vi vara lite rigorösa, annars är det lätt att snubbla på skenbart "självklara" saker.

Tack för det utförliga svaret!

Två preliminiära frågor:

Vad betyder $\simeq$ och $\cong$ i det här sammanhanget? Homomorf och isomorf?

Är det verkligen så viktigt att skilja på informella uttryckssätt som "mängden av alla massor" och en faktisk konstruktion inom ZF? Detta kanske är en naiv fråga men kan vi inte skapa mängden av alla massor hur vi vill? Om vi skulle tänka oss ett tangentiellt relaterat scenario, där vi har ett ändligt antal massor och kan gå igenom alla dessa, en efter en, så skulle man väl bara kunna t.ex. nästla mängder i varandra lite hur man vill? Den första massan är $\emptyset$, den andra massan $\{\emptyset\}$, den tredje $\{\{\emptyset\}\}$ etc. eller kanske enligt $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ osv...

Spelar det alltså så stor roll hur vi väljer att representera våra objekt rent mängdteoretiskt? Strukturen vi inför (t.ex. addition eller ordning) kommer väl inte ha något med representationen att göra på samma sätt som den gör när man definierar t.ex. naturliga tal och vill ha ett enkelt sätt att definera ordning; i vår modell $M$ är väl ordningen liksom additionen empirisk?

Det jag gillade med artikeln är att den åtminstone i någon mening besvarar frågan om varför man kan använda tal överhuvudtaget för att beskriva icke-numeriska egenskaper hos vissa ting

Vad innebär det att använda tal för att beskriva icke-numeriska egenskaper?

Är det inte så att man kan beskriva alla möjliga egenskaper med tal, men att det inte alltid är lika användbart? Författaren poängterar till exempel att egenskapen "wit" skulle kunna modelleras med $(\mathbb{R},\leq)$, även fast de specifika talen blir ointressanta, och endast deras inbördes ordning blir intressant. Det är ju dock ändå en modell där tal används för att beskriva en icke-numerisk egenskap. Att beskriva något med tal kan också göras på väldigt många olika sätt. Man behöver ju inte ta med all möjlig struktur i alla sammanhang. En kvalitativ egenskap som objekt antingen kan besitta eller inte besitta skulle man kunna beskriva med talen $\{0,1\}$. 

Jag håller helt med SeriousCephalopod om att jag inte fann artikeln så upplysande. Alla de antaganden om den "icke-matematiska" modellen och vad de leder till enligt artikelförfattaren fungerar identiskt med matematiska axiom och deduktion. Matematiska sanningar existerar som vi vet oberoende av några empiriska experiment. Jag förstår inte riktigt poängen med att införa en "icke-matematisk" struktur som modell för massor för olika objekt men sedan behandla den precis som om det vore en matematisk struktur. Att införa en ordning av en mängd massor för att beskriva fysiska egenskaper är en precis lika matematisk modell som att beskriva det med talsystem. Massa är lika lite en "relation till tal" som det är en "relation till en ordnad mängd" i mina ögon. Tal och mängder existerar inte på något ontologiskt distinkta sätt.

Jag ser inte att man kommer närmare någon slags fundamental beskrivning av verkligheten. Men jag vet inte heller exakt vad författaren menar med begreppet fundamental.

Jag tror att själva frågan vad massa är inte är rätt fråga att ställa. Hur vi än beskriver det, så måste det ske genom en konceptuell modell. Därför är väl en rimligare fråga att ställa sig hur fenomenet massa bäst kan beskrivas. 

Att man gör ett val av skala, eller med andra ord inför ett koordinatsystem, är väl inte heller något konstigt. Det är väl ingen som tror att koordinataxlarna finns i verkligheten som något annat än ett konceptuellt verktyg i vår modell. 

Med $\cong$ avses (i mängdteoretisk kontext) oftast en injektiv isomorfi för ordning (order embedding), dvs för de linjärt ordnade mängderna $(P,<)$ och $(Q\prec)$ finns en injektiv funktion $(h:P\to Q)$ så att $h(p_1)\prec h(p_2)$ då $p_1<p_2$. Den bevarar ordning, men inte nödvändigtvis operationer som addition eller multiplikation och $h$ behöver inte vara bijektiv.

Med $\simeq$ avses en strukturbevarande isomorfi (vanligare inom mer tillämpad matematik och fysik, till exempel gruppisomorfi, algebraisk isomorfi). Om vi till exempel skriver $(P, +, \cdot) \simeq (Q, +, \cdot)$, menar vi i första hand att operationerna för addition och multiplikation bevaras mellan $P$ och $Q$. Ordning kan bevaras om man vill inkludera den i strukturen (till exempel i ordnade kroppar), men fokus ligger på operationer.

Det är viktigt att skilja dem åt när man använder satser som den jag talade om ovan. Det gäller till exempel att, då $M\subseteq \mathbb{R}^+$ så är $M\cong \mathbb{R}^+$ och därmed $M\cong \mathbb{R}$ eftersom $M$ är en Dedekind-komplett ordnad mängd (använd till exempel $h=ln(x)$). Däremot är den inte en kropp (eller ett fält). För att få skriva $M\simeq \mathbb{R}$ (flytta med operationerna) måste vi utöka $M$ (ytterligare förändra vår modell) så att vi har med addition/multiplikation och additativa inverser samt ett nollelement.

När vi konstruerar modeller som representerar verkliga objekt på det sätt Sider försöker göra måste vi vara rigorösa. Dessa och snarlika frågor dyker alltid upp när vi funderar över hur/om vi ska arbeta med Dedekind-komplettering, arkimediska egenskaper och vilken konkret struktur vi ska använda i vår representationskomposition / uppsättning.

På samma sätt är det viktigt att inte uttrycka sig slarvigt om mängder samt att ha i åtanke vad de faktiskt "är" och framförallt vilka konstruktioner som är tillåtna utifrån de axiom som är accepterade. Annars hamnar man lätt i tankefällor. Ordning och operationer behöver inte vara empiriska i bokstavlig bemärkelse. Inom matematik är de aldrig empiriska, inom fysik till exempel, är det inte alltid möjligt att utföra experiment med tillräcklig precision, eller överhuvudtaget (*host* strängteori *host*). Struktur och ordning följer av modellrepresentationen så jo, den har med representationen att göra.

Vad innebär det att använda tal för att beskriva icke-numeriska egenskaper?

Det jag menade med det är att man beskriver egenskaper som existerar oberoende av tal med tal. I en värld där vi inte hade haft tal hade massa och andra liknande egenskaper funnits ändå. Den inbördes ordningen mellan massorna etc. hade också existerat ändå. Min fråga handlade delvis om vad det betyder överhuvudtaget att tillskriva en sådan egenskap ett tal, och i vilka situationer det går att göra på ett meningsfullt sätt (i sammanhanget mätning) och i vilka det inte går; vad är det man gör rent abstrakt när man säger att en stol har massa $\pi/7\;\mathrm{kg}$?

Rent konceptuellt finner jag det Sider skriver om ganska tillfredsställande, även om det tydligen finns en del detaljer där det är viktigt att hålla tungan rätt i mun. Vad menar du att alternativet till att göra det han beskriver skulle vara? Jag kanske bara finner det upplysande eftersom jag saknar andra perspektiv.

När vi konstruerar modeller som representerar verkliga objekt på det sätt Sider försöker göra måste vi vara rigorösa. Dessa och snarlika frågor dyker alltid upp när vi funderar över hur/om vi ska arbeta med Dedekind-komplettering, arkimediska egenskaper och vilken konkret struktur vi ska använda i vår representationskomposition / uppsättning.

Detta är jag med på, åtminstone delvis. Jag förstår att det är viktigt att vara väldigt exakt med vilka egenskaper man menar att objekten i ens modell ("mängden av alla massor") ska ha. Däremot förstår jag fortfarande inte riktigt varför det är så farligt att använda informella uttryckssätt som "mängden av alla massor". Jag kanske missförstår vad du menar, så låt det motivera diskussionen nedan. 

Så länge vi bygger en empirisk modell, i bemärkelsen att vi direkt kan jämföra massor med varandra på något sätt, t.ex. med en balansvåg, så borde det väl inte spela någon roll exakt hur vi väljer att konstruera objekten i vår modell? Antag exempelvis i ett mycket enkelt fall att vi har massorna $a$, $b$ och $c$ med $\displaystyle a \prec b\prec c$ samt $\displaystyle a\oplus b= b\oplus a = c$. Kalla "mängden av dessa massor" $X$. Då har vi väl t.ex. att $\displaystyle (X,\prec,\oplus)\simeq (\{1,2,3\},< ,+)$, oavsett hur vi väljer att rent konkret konstruera elementen i $X$ (så länge objekten vi skapar existerar enligt ZF)?

Om jag har försått dig rätt så menar du att detta brakar ihop i de fall då objekt inte går att jämföra med varandra direkt, t.ex. när vi går ned på en för liten skala. Men hur menar du att man skulle kunna få med strukturen och ordningen genom konstruktionen av elementen i modellen i ett sådant fall? Om strukturen vi utrustar vår modell med inte går att verifiera empiriskt så blir den väl lite meningslös? Och om den går att verifiera empiriskt, varför skulle vi behöva "bygga in" den i konstruktionen av våra modellelement?

naytte skrev:

Vad innebär det att använda tal för att beskriva icke-numeriska egenskaper?

Det jag menade med det är att man beskriver egenskaper som existerar oberoende av tal med tal. I en värld där vi inte hade haft tal hade massa och andra liknande egenskaper funnits ändå. Den inbördes ordningen mellan massorna etc. hade också existerat ändå. Min fråga handlade delvis om vad det betyder överhuvudtaget att tillskriva en sådan egenskap ett tal, och i vilka situationer det går att göra på ett meningsfullt sätt (i sammanhanget mätning) och i vilka det inte går; vad är det man gör rent abstrakt när man säger att en stol har massa $\pi/7\;\mathrm{kg}$?

Rent konceptuellt finner jag det Sider skriver om ganska tillfredsställande, även om det tydligen finns en del detaljer där det är viktigt att hålla tungan rätt i mun. Vad menar du att alternativet till att göra det han beskriver skulle vara? Jag kanske bara finner det upplysande eftersom jag saknar andra perspektiv.

Ja, den inbördes ordningen är något vi empiriskt kan observera och reproducera. 

Min poäng var att en sådan egenskap har lika lite med ordnade mängder att göra som den har med de reella talen eller några andra tal att göra. Jag syftar här på den frågan du tidigare ställde:

Skulle du hålla med om att det är rimligt att vi på något sätt (även om det är lite oklart exakt hur) har identifierat en "struktur" hos egenskapen massa med "strukturen" hos en delmängd av de reella talen, vilket tillåter oss att enligt någon regel tillskriva massor reella tal?

Jag håller delvis med. Jag skulle vilja formulera det som att vi experimenterar och konceptualiserar ett begrepp vi kallar för massa. Vi letar efter egenskaper och mönster i vårt nya begrepp och samlar samt formaliserar detta i matematiska eller fysikaliska modeller. De reella talen med en ordningsrelation och addition är en sådan modell. Ingen modell är fullständig. Ingen modell är perfekt. Olika modeller kan beskriva olika aspekter. 

Det jag inte förstod mig på i artikeln är att det skulle finnas någon "icke-matematisk" struktur med axiomatiska egenskaper och homomorfier till reella tal. Än mindre tror jag på att något sådant skulle vara närmare verkligheten än de reella talen själva.  Artikelförfattaren verkar beskriva det vedertagna tillvägagångssätt vid vilket man abstraherar egenskaper och strukturer från observationer och experiment och konceptualiserar dem som matematiska strukturer. En betydande del av matematiken, nästan all matematik historiskt, har utvecklats på det sättet. ("Modern" matematik kan vara helt abstrakt och utvecklas från t.ex. axiom och deduktiva regler.) Till exempel kan de naturliga talen ses som en abstraktion av processen att räkna, och funktioner kan ses som en abstraktion av samband eller transformationer. Jag ska erkänna att jag inte förstår poängen med den delen av artikeln, utöver att man diskuterar modellers olika förklaringsvärden. 

Jag vill upprepa att vi kan beskriva extremt många olika saker med tal, och det avgörande tror jag inte är talen själva utan vilka strukturer som abstraheras från empiri och tas med i modellen. Begreppet tal är inte en formell matematisk definition, så vilken samling modeller eller matematiska strukturer man syftar på är inte uppenbart. Det blir därför en fråga om vad man menar med tal. Är något av de exempel jag tog upp i mitt förra inlägg giltiga sätt att beskriva egenskaper med tal? Måste det finnas en ordning? additionsoperation? multiplikation? Var exakt går gränsen för när man kan säga att något beskrivs med tal?

För att försöka svara på din fråga säger jag därför att det betyder att fenomenet har en viss delmängd av de egenskaper vi förknippar med tal och aritmetik (väldigt otillfredsställande svar kanske).  Om några av egenskaperna hos det observerade fenomenet liknar addition, ordningsrelationer eller dylikt så kan vi med fördel använda tal för att beskriva dem.

Ditt sista stycke håller jag med om fullständigt och jag tolkar det som att det är det som Sider beskriver, om jag inte har missförstått honom?

Jag kanske angriper problemet från "fel" vinkel. I mitt huvud är matematiska objekt helt konstruerade entiteter som inte har någon koppling till verkligheten överhuvudtaget. All tillämpning av dessa entiter måste på något sätt motiveras ordentligt; det är inte tydligt för mig hur eller varför det skulle vara möjligt. Men om man förstår matematiska objekt som från verkligheten abstraherade entiteter kanske man inte känner samma behov.

Min ursprungsfråga handlade delvis om vad det betyder att mäta, att använda matematiska objekt som inte existerar för att beskriva objekt som existerar, och hur man gör detta. Hade man frågat yolo-Sider (jag tycker att det epitetet är vansinnigt lustigt) vad det betyder när man säger att stolen väger $\pi/7\;\mathrm{kg}$ hade han svarat med att det finns en homomorfi mellan mängden av alla massor och en delmängd av de reella talen som uppfyller vissa krav och som råkar tillskriva stolens massa det matematiska objektet $\pi/7$.

Detta ger ett allmänt svar på vad en mätning är överhuvudtaget eftersom resonemanget kan utvidgas till (nästan?) alla slags mätningar. Jag ser inte hur annars man skulle besvara frågan och om man besvarar den så är man ju tvungen att skilja på matematiska och icke-matematiska strukturer (alltså på av oss påhittade och empiriska).

Vi är säkert mestadels överrens då, och jag kan också mycket väl ha missförstått ditt perspektiv. 

I mitt huvud är matematiska objekt helt konstruerade entiteter som inte har någon koppling till verkligheten överhuvudtaget.

Ja, eller en koppling har de väl rent metamatematiskt, men annars förstår jag vad du menar och så är det ju.

...hade han svarat med att det finns en homomorfi mellan mängden av alla massor och en delmängd av de reella talen som uppfyller vissa krav och som råkar tillskriva stolens massa det matematiska objektet $\pi/7$.

Vad är homomorfi, och vad är mängden massor? Vad är syftet att använda matematiskt språk här, när det inte är matematiska objekt vi talar om? Eller inför vi en annan matematisk modell här, och beskriver sambanden mellan modellerna? Vad är i sådana fall syftet med det? För mig blir det meningslöst, men jag kanske missar något.

Jag tänker att man inför en matematisk modell där man skapar en matematisk "proxy" för varje objekt vi studerar. När vi väl har detta kan vi använda matematiska begrepp utan förbehåll. 

Låt säga att vi exempelvis har de tre ovan diskuterade objekten $a$, $b$ och $c$. Vi noterar empiriskt att $a$ och $b$ tillsammans är lika massiva som $c$, samt att $a$ är mindre massiv än $b$, som är mindre massiv än $c$. Kort och något slarvigt uttryckt $a\prec b\prec c$ och $a\oplus b=b\oplus a=c$.

Vi ställer oss nu frågan om vi kan uttrycka egenskapen "massa" numeriskt, och hur vi ska göra det och vad det då ens ska betyda. Konceptuellt inser vi att "mängden av alla massor" med strukturen vi har diskuterat är "likadan" som en delmängd av de reella talen med utrustad med och $+$. Denna insikt är det som är viktigt men den allena ger oss inget sätt att faktiskt tillskriva massorna matematiska objekt.

För att utnyttja insikten och andra matematiska begrepp kan vi skapa mängdteoretiska "proxys" för våra objekt. Definiera t.ex. $\displaystyle a:=\emptyset$, $\displaystyle b:=\{\emptyset\}$ och $c:=\{\{\emptyset\}\}$. "Mängden av alla massor" $X$ blir då $X=\{ a,b,c \}=\{ \emptyset ,\{ \emptyset \},\{ \{ \emptyset \} \} \}$, och matematiseringen av strukturen ($\oplus$ och $\prec$) följer analogt. Nu kan vi utnyttja insikten ovan och ge ett konkret svar på vad det betyder att ett visst objekt har en massa med ett visst numeriskt värde etc. Vi kan exempelvis identifiera $X$ med $\{1,2,3\}$ under $h: \left(X,\prec, \oplus\right)\to \left(\{1,2,3\},<,+\right)$ som definieras av $h(a)=h(\emptyset) = 1$, $h(b)=h(\{\emptyset\})=2$, $h(c)=h(\{ \{ \emptyset \} \})=3$. Nu har vi konkret besvarat frågan vad det betyder när vi säger att "$a$ har massa $1$" eller "$c$ har massa $3$" (utan hänsyn till skala).

Så poängen är som jag ser det att faktiskt kunna utnyttja insikten på ett konkret sätt om att vissa samlingar objekt har egenskaper med inbördes struktur som liknar de som våra konstruerade, matematiska objekt har.

Det är så jag tänker i alla fall. Jag vet inte om det är rimligt men det är ju därför man diskuterar! :)

Jag är inte såld på den här idén. 

Spelar det någon roll om objekten heter $\emptyset$, $\{\emptyset\}$ och så vidare, där $a\oplus b$ definieras mängdteoretiskt, eller om objekten heter $1,2,\dots$ där addition definieras som vanligt?

Om du svarar med att flera objekt kan ha samma massa, så är det inte helt enkelt så att du har en modell som bevarar distinkta objekt, och en modell där den informationen glöms bort? I övrigt har du bara bytt namn på objekten och operationerna så vitt jag kan förstå.

Jag förstår experimentellt hur man kan beskriva det förlopp där man anländer till slutsatsen att reella talen är en passande modell. Däremot förstår jag inte varför vi behöver denna mellanstruktur för att inse att objektens massor kan beskrivas med tal. För mig är det ingen kvalitativ skillnad mellan din proxy och dina tal. 

Jag vet inte om det är rimligt men det är ju därför man diskuterar! :)

Absolut. Jag tycker du ofta ställer väldigt intressanta frågor och jag gillar att fundera på och diskutera dem.

Spelar det någon roll om objekten heter $\emptyset,\{\emptyset\}$ och så vidare, där $a\oplus b$ definieras mängdteoretiskt, eller om objekten heter $1,2,\dots$ där addition definieras som vanligt?

Ja, det tror jag att det gör. Ett objekt har ju många egenskaper utöver endast egenskapen "massa". Om du bestämmer att objektet i sig ska betecknas med symbolen $1$ så kanske det motsvarar det numeriska värde vi vill tillskriva dess massa, men vad händer om dess "laddning" är det vi skulle uttrycka med symbolen $3$? Det känns som om man skjuter sig själv i foten lite om man gör så. Om man väljer en mer godtycklig representation som t.ex. $\emptyset, \{\emptyset\},\dots$ så kan man definiera ny struktur för de olika egenskaperna objekten har och nya homomorfier varje gång man vill uttrycka en ny egenskap.

Att beteckna ett objekt med t.ex. $1$ får det ju att verka som om objektet vore det matematiska objektet $1$ men det vi vill göra är ju att identifiera en egenskap hos objektet med det matematiska objektet $1$.

Om du svarar med att flera objekt kan ha samma massa, så är det inte helt enkelt så att du har en modell som bevarar distinkta objekt, och en modell där den informationen glöms bort?

Skulle du kunna utveckla vad du menar med det fetstilta i citatet ovan? Jag hänger inte riktigt med på vad du menar.

naytte skrev:

Detta är jag med på, åtminstone delvis. Jag förstår att det är viktigt att vara väldigt exakt med vilka egenskaper man menar att objekten i ens modell ("mängden av alla massor") ska ha. Däremot förstår jag fortfarande inte riktigt varför det är så farligt att använda informella uttryckssätt som "mängden av alla massor".

Om jag har försått dig rätt så menar du att detta brakar ihop i de fall då objekt inte går att jämföra med varandra direkt, t.ex. när vi går ned på en för liten skala. Men hur menar du att man skulle kunna få med strukturen och ordningen genom konstruktionen av elementen i modellen i ett sådant fall? Om strukturen vi utrustar vår modell med inte går att verifiera empiriskt så blir den väl lite meningslös? Och om den går att verifiera empiriskt, varför skulle vi behöva "bygga in" den i konstruktionen av våra modellelement?

Det är inga problem så länge du håller dig till ändliga mängder.  Men om vi börjar med Russel så kan vi låta $\mathcal{H}$ vara ett separabelt Hilbertrum (till exempel rummet av alla kvanttillstånd för en partikel). Vi kan då definiera mängden av alla linjära operatorer på $\mathcal{H}$

$\mathcal{O} = \{ A \mid A: \mathcal{H} \to \mathcal{H} \text{ linjär}\}$

Varje operator är ett objekt i mängden och tekniskt sett ska vi nu kunna lägga en operator $A$ i en braket-sandwich $<\varphi|A|\varphi>$ och få en observabel. Nu är frågan om vi får använda den här "mängden" helt obehindrat för att bygga nya mängder?. Får vi verkligen trycka in de nya konstruktionerna ("mängderna") direkt i Siders homomorfism?  Eller måste vi se upp eftersom "grundmängden" i det här fallet egentligen är en klass och kräver att vi arbetar med separabla operatorer?

Nu är ju inte exemplet så farligt, om något inte stämmer kommer våra experiment visa att vår modell är felaktig. Men tänk om vi inte hade haft empiri tillgänglig?

Hursomhelst. Jag tror det är tänkt att man ska läsa artikeln som en filosofispaning och inte ta det så allvarligt. Men det jag främst stör mig på är att Sider, som uppenbarligen har läst både KLST och Hölder, ger oss en för ändamålet ovanligt stark homomorfidefinition (vi behöver en implikation, inte en ekvivalens), ett cirkulärt beroende av de reella talens fullständighet, och ett "Existence of copies"-axiom som i princip kräver existens för alla $n$, saknar övre begränsning och som dessutom är äventyrlig i kopplingen till fysiska-/empiriska restriktioner. Vill man vara snäll får man se det som en sorts pedagogisk överförenkling av KLST. 

Men frågan är ju vad du vill få ut av artikeln. Den påminner mig förövrigt om det här som var på tapeten för några år sedan

https://gwern.net/doc/philosophy/ontology/2020-michell.pdf

naytte skrev:

Spelar det någon roll om objekten heter $\emptyset,\{\emptyset\}$ och så vidare, där $a\oplus b$ definieras mängdteoretiskt, eller om objekten heter $1,2,\dots$ där addition definieras som vanligt?

Ja, det tror jag att det gör. Ett objekt har ju många egenskaper utöver endast egenskapen "massa". Om du bestämmer att objektet i sig ska betecknas med symbolen $1$ så kanske det motsvarar det numeriska värde vi vill tillskriva dess massa, men vad händer om dess "laddning" är det vi skulle uttrycka med symbolen $3$? Det känns som om man skjuter sig själv i foten lite om man gör så. Om man väljer en mer godtycklig representation som t.ex. $\emptyset, \{\emptyset\},\dots$ så kan man definiera ny struktur för de olika egenskaperna objekten har och nya homomorfier varje gång man vill uttrycka en ny egenskap.

Att beteckna ett objekt med t.ex. $1$ får det ju att verka som om objektet vore det matematiska objektet $1$ men det vi vill göra är ju att identifiera en egenskap hos objektet med det matematiska objektet $1$.

Om du svarar med att flera objekt kan ha samma massa, så är det inte helt enkelt så att du har en modell som bevarar distinkta objekt, och en modell där den informationen glöms bort?

Skulle du kunna utveckla vad du menar med det fetstilta i citatet ovan? Jag hänger inte riktigt med på vad du menar.

Jag menar att modellerna strukturellt är identiska, med ett undantag. Med strukturellt identiska menar jag att det ända som skiljer dem åt är vad du valt för namn och symboler. 

Undantaget är att distinkta mängder har distinkta namn i den första modellen. Men det som beskrivs av elementen är deras massor. I den andra modellen med tal så kan flera mängder representeras av samma massa, men i övrigt är det samma struktur på modellerna. Så modellerna blir ekvivalenta så när som på denna distinktion.

Båda modellerna handlar om objektens massor, inte om objekten själva eller andra egenskaper som laddning. Du definierar en addition och en ordning i båda strukturerna på samma sätt, så det är ändå objektens massor och inte objekten själva vars egenskaper båda modellerna beskriver.

Det är sant att i modellen där distinkta objekt med samma massa är distinkta, så skulle du kunna utvidga den till att handla om andra egenskaper. Men på vilket sätt besvarar det frågan om när man kan använda tal för att beskriva fysikaliska egenskaper? Att bara byta de symboler man använder för att beskriva massor från $\{1,2,3\}$ till $\{a,b,c\}$ tycker jag inte ger något tillfredsställande svar på den frågan.

Men på vilket sätt besvarar det frågan om när man kan använda tal för att beskriva fysikaliska egenskaper?

Jag menade inte att exemplet skulle besvara frågan om när man kan använda tal, utan snarare besvara frågan om vad det betyder att använda tal.

Jag tänker att insikten om när man kan använda tal (eller mer allmänt "matematiska objekt") för att beskriva fysikaliska egenskaper föregår den explicita konstruktionen; man kan använda tal när de fysikaliska egenskaperna man vill beskriva har åtminstone delvis samma struktur som de matematiska objekten man vill använda. Detta ger ett konceptuellt svar på varför och när man kan använda matematiska objekt, men inte hur man faktiskt ska göra det eller vad det betyder att säga "stolen har massa $\pi \;\mathrm{kg}$" eller liknande. Det är detta en explicit konstruktion ger svar på, tror jag.

När jag diskuterar jag "mängden av alla massor" $X$ så tänker jag mig mängden av objekten i sig. Jag uttryckte mig olyckligt. Det jag menar är att om man modellerar objekten som godtyckliga matematiska objekt, kan man för varje relevant egenskap definiera ny struktur (som vi erhåller empiriskt) och till sist en ny homomorfi.

Har någon någon rekommendation på något eller några standardverk på området? Det är intressant men verkar enkelt kunna spåra i komplexitet, beroende på vad man vill modellera. Även om det är intressant att diskutera har ju någon säkert redan tänkt allt detta innan och även besvarat det bra.

En alternativ vinkling här, som ingen nämnt (tror jag), är att skippa grundantagandet:

Tal är som jag ser dem helt abstrakta entiteter som är helt konstruerade av oss och strikt taget inte har något att göra med verkligheten alls.

och istället ser det som att verkligheten är matematik. Då är det inte konstigt alls att den beskrivs bra av tal och matte. Om det skulle vara så, så är steget inte långt till att vidare anta att vi lever i en simulering. Vidare läsning här är t.ex. böcker av Tegmark och Bostrom. Men då har man lämnat det som OP var ute efter. 

När jag doktorerade var det obligatoriskt att läsa en introkurs i vetenskapsteori och forskningsmetodik. Vi använde då utdrag ur KLST, det är också en av få referenser jag tycker återkommer i diskussioner och artiklar som rör filosofi. Är dock inte tillräckligt insatt i filosofi för att veta om det är "standardverket". Men som bonus är det åtminstone lite mer ordning och reda på de mängdteoretiska resonemangen eftersom Suppes faktiskt vet vad han pratar om.

När jag sökte efter bild på första boken hittade jag dessutom detta youtubeklipp. Det är ett klipp från en svunnen tid så herrarna med Suppes i spetsen är lite stela, men visst känner vi igen resonemang och exempel nästan 1-1 med Sider redan efter 5-10 minuter? :-)

https://www.youtube.com/watch?v=oQyo3zTyvT4

Tack för bokrekommendationen och videolänken! Det verkar som om Sider har tagit en del inspiration... :D

Detta är ett väldigt intressant område, måste jag säga, och som tur är verkar det finnas mycket litteratur! Det är så lustigt att man plötsligt kan snubbla in på något man inte ens visste fanns och aldrig hade tänkt på tidigare för att man får en random filosofisk kris ("jag vet ju inte ens något så grundläggande som vad det betyder att mäta...!" )😄