Vad menas med att en generaliserad integral inte existerar?

Detta är uppgiften:

Är påståendet sant? Motivera!

Låt f vara en kontinuerlig funktion på $[1, \infty]$ som antar både positiva och negativa värden. Då existerar inte den generaliserade integralen $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ .

Min gissning är att man kan säga att integralen inte existerar om den är divergent? Om man tänker på integralen som arean mellan grafen och x-axeln så går den ju inte att beräkna hos en divergent integral där x går mot oändligheten. Och då kanske man kan säga att den inte existerar. Eller tänker jag fel?

Man menar att gränsvärdet nedan inte existerar:

$\displaystyle \lim_{k\to \infty}\int_{1}^{k}f\left(x\right)\mathrm{d}x$

Jag antar att du inte behöver hjälp med själva frågan?

Tack!

Jag kommer att tänka på funktionen (sin(x))/x, är inte den en funktion som motsäger påståendet? Den är kontinuerlig, antar både pos och neg värden på [1, $\infty$ ] men gränsvärdet existerar och är =0. (?)

klal007 skrev:
Tack!

Jag kommer att tänka på funktionen (sin(x))/x, är inte den en funktion som motsäger påståendet? Den är kontinuerlig, antar både pos och neg värden på [1, $\infty$ ] men gränsvärdet existerar och är =0. (?)

Du kan göra det ännu lättare för dig och välja funktionen sin(x) för [1,2pi] och 0 för [2pi,inf)

Svara

Visa senaste svar