Vänster och högerderivata

Punkten markerad "a" sitter fast på kurvan, den kan inte röra sig. Det är punkten man vill hitta kurvans lutning i, dvs. man vill hitta lutningen på den blå tangenten.

För att göra det sätter man ut en ny punkt på kurvan, och den nya punkten låter man vara rörlig. Om den nya punkten får vandra längs kurvan mot punkt a, då kommer sekanten genom de två punkterna allt mer likna tangenten - eller hur?

Derivatans definition säger ungefär att sekanten blir tangenten man letar efter (eller åtminstone, att lutningen av sekanten blir lutningen av tangenten), om man låter punkterna mötas.

Allt det har med derivatans definition att göra, och kan vara krångligt att hänga med på. Men hänger man med på det, då är det du fotat av inte oväntat. Det säger bara att den här andra punkten som rör sig mot a, den kan komma antingen från höger eller från vänster. Sekanten blir till en tangent oavsett, om man låter punkterna mötas. De små pilarna visar alltså riktningen som den andra punkten färdas i, när den rör sig mot a.

Skaft skrev:

Punkten markerad "a" sitter fast på kurvan, den kan inte röra sig. Det är punkten man vill hitta kurvans lutning i, dvs. man vill hitta lutningen på den blå tangenten.

För att göra det sätter man ut en ny punkt på kurvan, och den nya punkten låter man vara rörlig. Om den nya punkten får vandra längs kurvan mot punkt a, då kommer sekanten genom de två punkterna allt mer likna tangenten - eller hur?

Derivatans definition säger ungefär att sekanten blir tangenten man letar efter (eller åtminstone, att lutningen av sekanten blir lutningen av tangenten), om man låter punkterna mötas.

Allt det har med derivatans definition att göra, och kan vara krångligt att hänga med på. Men hänger man med på det, då är det du fotat av inte oväntat. Det säger bara att den här andra punkten som rör sig mot a, den kan komma antingen från höger eller från vänster. Sekanten blir till en tangent oavsett, om man låter punkterna mötas. De små pilarna visar alltså riktningen som den andra punkten färdas i, när den rör sig mot a.

Jaha ok! Tack för en bra förklaring 

Litet tillägg, jag slarvade i sista stycket där. Jo, det kan spela roll om punkten kommer från vänster eller höger. Ta t.ex. grafen till y = |x|, som ser ut som ett stort V. Om vi sätter punkten a precis i grafens "hörn" (i origo), då kommer sekanten luta neråt ifall den andra punkten kommer från vänster, och uppåt om den kommer från höger. Vänster- och högerderivatan är alltså inte överens, och därför säger man att funktionen inte har en derivata i just den punkten (funktionen är "inte deriverbar" i x=0).

Men när funktionen är "vanlig och snäll" och derivatan existerar, då är höger- och vänsterderivatan också samma.

Skaft skrev:

Litet tillägg, jag slarvade i sista stycket där. Jo, det kan spela roll om punkten kommer från vänster eller höger. Ta t.ex. grafen till y = |x|, som ser ut som ett stort V. Om vi sätter punkten a precis i grafens "hörn" (i origo), då kommer sekanten luta neråt ifall den andra punkten kommer från vänster, och uppåt om den kommer från höger. Vänster- och högerderivatan är alltså inte överens, och därför säger man att funktionen inte har en derivata i just den punkten (funktionen är "inte deriverbar" i x=0).

Men när funktionen är "vanlig och snäll" och derivatan existerar, då är höger- och vänsterderivatan också samma.

Det här alltså ett undantag?

Det är ett exempel på en funktion som inte är deriverbar i alla punkter, ja.

Skaft skrev:

Det är ett exempel på en funktion som inte är deriverbar i alla punkter, ja.

Vänta lite här. Är inte den här grafen kontinuerlig? Den bryts ju inte ingen specifik punkt. Den är ju oavbruten 

Den är kontinuerlig, men dess derivata är inte det. Den hoppar från 0 till något negativt när x = 2.

Edit: jag tittade slarvigt. Kurvan är ju diskontinuerlig i x = 4 också.

Äh, jag tittade nere till vänster. Den upptill har en diskontinuerlig derivata i x = 0.

Laguna skrev:

Den är kontinuerlig, men dess derivata är inte det. Den hoppar från 0 till något negativt när x = 2.

Edit: jag tittade slarvigt. Kurvan är ju diskontinuerlig i x = 4 också.

Äh, jag tittade nere till vänster. Den upptill har en diskontinuerlig derivata i x = 0.

Vad menar du med diskontinuerlig derivata? I punkten x = 0 är derivatan 0 

Fysikguden1234 skrev:

Skaft skrev:

Det är ett exempel på en funktion som inte är deriverbar i alla punkter, ja.

Vänta lite här. Är inte den här grafen kontinuerlig? Den bryts ju inte ingen specifik punkt. Den är ju oavbruten 

Ja, den är kontinuerlig, men det är inte det enda kravet för deriverbarhet. Det här är ju exemplet jag pratade om, den V-formade kurvan. I hörnet har kurvan ingen entydig lutning - Prova att rita en tangent där, i origo. Ska den luta nedåt eller uppåt?

Man ritar en tangent som är horisontell 

Mjo, jag förstår hur du tänker, tror jag. "Precis mitt på" hörnet har lutningen hunnit ändras halvvägs från nedåt till uppåt? Så då pekar den horisontellt? Eller tänker du kanske horisontellt för att det blir som ett "rättvist genomsnitt"? Vad är motiveringen till att tangenten bör vara horisontell?

Skaft skrev:

Mjo, jag förstår hur du tänker, tror jag. "Precis mitt på" hörnet har lutningen hunnit ändras halvvägs från nedåt till uppåt? Så då pekar den horisontellt? Eller tänker du kanske horisontellt för att det blir som ett "rättvist genomsnitt"? Vad är motiveringen till att tangenten bör vara horisontell?

Jag tänker på origo. Då är lutningen 0 och horisontell. Eller hur?

Jag vet att vi pratar om origo, det är den tangenten jag vill att du motiverar =) Du pratar om det som att det är en självklarhet att tangenten skulle bli horisontell där, det tycker jag inte att det är.

Eftersom lutningen är -1 på hela intervallet vänster om y-axeln, och +1 på hela intervallet höger om y-axeln, finns det ett problem. Punkten (0, 0) kan sägas tillhöra båda dessa intervall, eftersom den ligger på båda linjerna y=x och y=-x. Så grafens lutning i den punkten är i någon mening "både" -1 och 1. Därför sker ingen successiv övergång av lutningen från -1 till 1, utan det händer i ett enda hopp. Så när ska lutningen hinna bli noll?

Med derivatans definition:

$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=$

$\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}$

Skaft skrev:

Jag vet att vi pratar om origo, det är den tangenten jag vill att du motiverar =) Du pratar om det som att det är en självklarhet att tangenten skulle bli horisontell där, det tycker jag inte att det är.

Eftersom lutningen är -1 på hela intervallet vänster om y-axeln, och +1 på hela intervallet höger om y-axeln, finns det ett problem. Punkten (0, 0) kan sägas tillhöra båda dessa intervall, eftersom den ligger på båda linjerna y=x och y=-x. Så grafens lutning i den punkten är i någon mening "både" -1 och 1. Därför sker ingen successiv övergång av lutningen från -1 till 1, utan det händer i ett enda hopp. Så när ska lutningen hinna bli noll?

Lutningen går inte från -1 till 1. Kurvan går igenom 0 innan den går över till den positiva sidan. Därför är punkten (0,0) horisontell och har k värdet 0. Vi kan en rita en horisontell linje som går tvärs över x-axeln om du vet vad jag menar. Denna linje har lutningen 0

abs(x-2) är inte deriverbar i (2,0) eftersom du kan dra 2 tangenter i den punkten vars lutning är -1 och 1. Detta medför att abs(x-2) inte har samma gränsvärde till vänster som till höger. Detta bryter mot ett krav för att vara deriverbar. Detta gäller även abs(x) fast i x = 0.

Dracaena skrev:

abs(x-2) är inte deriverbar i (2,0) eftersom du kan dra 2 tangenter i den punkten vars lutning är -1 och 1. Detta medför att abs(x-2) inte har samma gränsvärde till vänster som till höger. Detta bryter mot ett krav för att vara deriverbar. Detta gäller även abs(x) fast i x = 0.

Tack men vad betyder ”abs”? Absolutbelopp? 

ja. :). abs står för absolutbelopp.

Fysikguden1234 skrev:

Lutningen går inte från -1 till 1.

Hur menar du? Är vi inte överens om att V-kurvan på vänstra halvan har lutningen -1, och på högra halvan 1?

Vi kan en rita en horisontell linje som går tvärs över x-axeln om du vet vad jag menar. Denna linje har lutningen 0

Javisst, vi kan rita en sån linje (och det gjorde jag ju ovan), men det betyder inte att den linjen är en tangent till V:et. En tangent ska ha samma lutning som funktionen den tangerar. Och det jag försöker få fram (och som Dracaena sammanfattade mycket bra) är att V-funktionen inte har en enda lutning i origo, utan både 1 och -1 samtidigt.

Även om vi hittar på att lutningen är 0 i x = 0 så går den i så fall från -1 till 0, och sen från 0 till 1, så den är ändå inte kontinuerlig.

Om lutningen vore -1 till vänster och 3 till höger, vad tycker du lutningen är i x = 0 då? Fortfarande 0, eller något annat?