Varför alla tal upphöjd i 2 bete sig så?

Jag har lite svårt att följa exakt vad du försöker identifiera iochmed att du talar om något du kallar en "bas" trots att detta ord brukar reserveras för något annat.

De mönster du talar om verkar dock följa av kvadreringsregeln dvs det symboliska uttryck som brukar skrivas

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

i formelsamlingar.

När du tillexempel beskriver talen vars andra siffra är 10, såsom 11,12,13, osv, så kan alla dessa beskrivas som 10 + ett ental vilket när man pluggar in det i kvadreringsregeln så faller dessa typer av mönster ut

$14 = (10 + 4)^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 4 + 3^2 = 100 + 20 \cdot 4 + 4^2 = 100 + 80 + 4^2$

dylikt med tal vars andra siffra är 2

$23 = (20 + 3)^2 = 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 3 + 3^2 = 400 + 40 \cdot 3 + 3^2 = 400 + 120+ 3^2$

Sedan verkar du bryta ner talen på ett lite annat sätt men själva grundmönstret bottnar tveklöst i kvadreringsregeln.

Den första delen (med olika baser):

Istället för att du lägger till tjugo till den första basen för varje steg uppåt du går, tänk istället att du lägger till tjugo till mittentalet. Alltså: 

$$\begin{gathered} {11}^2=100+20+1^2 \\ {12}^2=100+40+2^2 \\ {13}^3=100+60+3^2 \end{gathered}$$

Då har du en konsekvens av första kvadreringsregeln ($(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$). Skriv alla tal som 10 + någonting, och du får:

$$\begin{gathered} (10+1{)}^2={10}^2+20+1^2=100+20+1 \\ (10+2{)}^2={10}^2+40+2^2=100+40+4 \\ (10+3{)}^2={10}^2+60+3^2=100+60+9 \end{gathered}$$

När du sedan kommer upp till 20 kommer basen att öka med 40 per heltal, eftersom det för 21 kommer att 1*2*20 = 40, för 22 kommer att vara 2*2*20 = 80. Skillnaden mellan talen blir därför 40.

Det kändes väldigt organiserat iaf :)

När jag var i skolåldern kunde flera av mina äldre kompisar multiplikationstabellen upp till 20 utantill. Det kunde inte jag, men jag kunde "fuska" snabbt så att kompisarna trodde att jag också kunde :-). Exempel:
13*15= ((13+5)*10)+(3*5)

Affe Jkpg skrev :

När jag var i skolåldern kunde flera av mina äldre kompisar multiplikationstabellen upp till 20 utantill. Det kunde inte jag, men jag kunde "fuska" snabbt så att kompisarna trodde att jag också kunde :-). Exempel:
13*15= ((13+5)*10)+(3*5)

Ah Affe äntligen är du tillbaka :)!

Den kände jag inte till, jag kör den klassisk 15*10+15*3.

Synd att vi inte lär oss den här praktisk användning av ${\left(a+b\right)}^2 = a^2 +2ab +b^2$!

Så till ex 49 blir ${49}^2=(40+9{)}^2=1600+720+81=2401$ eller ännu bättre $(50-1{)}^{2 }= 2500 - 100 +1 = 2401$

Tack!!! När man ser det, blir det

Och nu då... På samma sätt, finns det fuskeri till rötter?

Det finns fuskeri på kvadraten på alla tal som slutar på fem:
Exempel:
45*45=((4*5)*100)+25
65*65= ((6*7)*100)+25

Det finns många sätt att hitta kvadratrötter i huvudet. Sök på "find square roots without a calculator" eller dylikt på youtube. Det finns mängder av videor som förklarar!

Daja skrev :

Affe Jkpg skrev :

När jag var i skolåldern kunde flera av mina äldre kompisar multiplikationstabellen upp till 20 utantill. Det kunde inte jag, men jag kunde "fuska" snabbt så att kompisarna trodde att jag också kunde :-). Exempel:
13*15= ((13+5)*10)+(3*5)

Ah Affe äntligen är du tillbaka :)!

Den kände jag inte till, jag kör den klassisk 15*10+15*3.

Synd att vi inte lär oss den här praktisk användning av ${\left(a+b\right)}^2 = a^2 +2ab +b^2$!

Så till ex 49 blir ${49}^2=(40+9{)}^2=1600+720+81=2401$ eller ännu bättre $(50-1{)}^{2 }= 2500 - 100 +1 = 2401$

Tack!!! När man ser det, blir det

 

Och nu då... På samma sätt, finns det fuskeri till rötter?

Hur menar du att du inte lär dig det? Du har ju direkt skrivit ut att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Då följer det väl direkt att $(10+9)^2=...$, eller?

Missförstår mig rätt, som man säger ;). Jag har lärt mig (à+b) i kvadrat, men tyvärr har jag aldrig kopplat av att det kunde användas för att enkelt räkna ut alla tal i kvadrat. Det skulle ha varit bra om böckerna hade nämt det nån gång.

Finns det nåt trick på kvadrattroter eller är det bara att uppskatta?

Daja skrev :

Missförstår mig rätt, som man säger ;). Jag har lärt mig (à+b) i kvadrat, men tyvärr har jag aldrig kopplat av att det kunde användas för att enkelt räkna ut alla tal i kvadrat. Det skulle ha varit bra om böckerna hade nämt det nån gång.

Jaha, jag ber om ursäkt. Du menar alltså att man är så van med att det står $(x+9)^2$ istället för $(10+9)^2$. Då förstår jag. :)

woozah skrev :

Daja skrev :

Missförstår mig rätt, som man säger ;). Jag har lärt mig (à+b) i kvadrat, men tyvärr har jag aldrig kopplat av att det kunde användas för att enkelt räkna ut alla tal i kvadrat. Det skulle ha varit bra om böckerna hade nämt det nån gång.

Jaha, jag ber om ursäkt. Du menar alltså att man är så van med att det står $(x+9)^2$ istället för $(10+9)^2$. Då förstår jag. :)

Nänä det är ingen fara :)

Min matte lärare sa också idag att jag måste utveckla kreativ tänkande :)