Varför används Talet 'e' som bas för ln?

Hej, 

Det du skriver stämmer endast delvis.

Bara funktionen f(x)=e^x har derivatan f'(x)=e^x.

Om du har funktionen g(x)=e^3x har denna derivatan g'(x)=3e^3x.

Bra att du är intresserad av detta. Jag rekommenderar dig att läsa först om derivata på matteboken.se och sedan om talet e för att få bättre förståelse och helhetsbild.

Talet e i sig är inte så intressant. Det är exponentialfunktionen e^x som gör hela e intressant, eftersom dess derivata är lika med funktionens värde i en punkt a. Det finns ett helt område inom matematiken som är ägnat åt talet e och hur det används i olika formler och modeller, hela textböcker har skrivits om det, därför är det svårt att ge dig ett koncist svar här. Om du är intresserad finns det bra information på bl.a. Wikipedia om dess historia och användningsområden.

Lycka till!

Som tillägg till föregående svar och som svar på frågan i titeln:

Basen $e$ används för den naturliga logaritmen eftersom den är definierad så. En logaritm kan ha vilken bas som helst, och den naturliga logaritmen är helt enkelt den logaritm som har basen $e$.

Lite slarvigt skrivet av mig, jag förstår att hela definitionen av 'naturliga logaritmen' är att det har basen e. Vi har bestämt det så.

Förstår att derivatan är densamma som exponentialfunktionens värde, också. Men inte varför det är av värde att det är så eller vad vi kan använda det till.

Kanske behöver lära mig mer om allt omkring för att vara med på det.

Kanske behöver lära mig mer om allt omkring för att vara med på det.

Låter rimligt!

Kanske. Borde inte vara alltför svårt att greppa ändå kan jag tycka, men får försöka släppa det ändå 

Svårt borde det nog inte vara, men det kräver lite bakgrund i väldigt grundläggande analys. En vanlig definition av talet $e$ är:

$\displaystyle e=\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}$

Den här definitionen dyker exempelvis upp när man försöker bestämma derivatan till en exponentialfunktion. Utan talet $e$ går detta inte.

Jag vet inte riktigt vad det där betyder, men ungefär att gränsvärdet vi närmar oss eller går mot när X går mot det oändliga i följande funktion/uttryck är = 2.72.

Är det inte så att det alltid går (bör göras) att skriva om alla exponentialfunktioner till att använda sig av e som bas istället för vad som nu används, men istället ändra exponenten. För att det av någon anledning underlättar någon beräkning.

Är det inte så att det alltid går (bör göras) att skriva om alla exponentialfunktioner till att använda sig av e som bas istället för vad som nu används, men istället ändra exponenten. För att det av någon anledning underlättar någon beräkning.

Här förstår jag inte riktigt vad du menar. Kan du ge ett exempel?

Jag vet inte riktigt vad det där betyder, men ungefär att gränsvärdet vi närmar oss eller går mot när X går mot det oändliga i följande funktion/uttryck är = 2.72.

Talet $e$ definieras som det där gränsvärdet, alltså som gränsvärdet av ${(1+\frac{1}{x})}^x$ då $x$ går mot oändligheten. Men det var lite det här jag menade. Jag tror att du måste förstå lite grundläggande analys innan du kan ge dig på talet $e$. 

Nej..jag kan inte ge något exempel. Försöker förstå användningsområdet bara 

Jo, men det lät som du tänkte på något specifikt. Alltså man kan ju alltid skriva om exponentialfunktioner på detta sätt:
$a^{kx}=e^{kx\ln a}$

Men det här är inte direkt enklare att derivera eller jobba med.

Okej, ja, nej, får vänta tills jag får igenom materialet.

Dkcre skrev:

Läser bara matte 2, och har inte gått igenom logaritmer än heller, så bör egentligen inte engagera mig med det här nu men finner det svårt att släppa.

Jag tycker det låter väldigt sunt att engagera sig i detta redan nu! ^_^

Och jag skulle säga att du redan är inne på en bra förklaring, nämligen att $e^x$ i någon mening är den enklaste exponentialfunktionen. Till exempel är den sin egen derivata:

   $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x$

och det finns också en väldigt trevlig formel för hur man kan approximera den som ett polynom:

   $e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots$

Om man har en annan exponentialfunktion $a^x$ så vill man därför gärna skriva om den till en exponentialfunktion med basen $e$, och det är för att göra detta man behöver den naturliga logaritmen. Den gör det nämligen möjligt att skriva $a=e^{\ln(a)}$, vilket i sin tur ger att

   $a^x=(e^{\ln(a)})^x=e^{\ln(a)x}$,

och plötsligt är det relativt enkelt att se att derivatan är

  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\ln(a)x}=\ln(a)\cdot e^{\ln(a)x}=\ln(a)\cdot a^x$

och att vi har polynomapproximationen

   $a^x=e^{\ln(a)x}=1+\frac{\ln(a)x}{1}+\frac{(\ln(a)x)^2}{1\cdot 2}+\frac{(\ln(a)x)^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{(\ln(a)x)^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots$

Så summan av kardemumman är väl att $e^x$ har väldigt trevliga egenskaper, och den naturliga logaritmen gör det möjligt att översätta från andra baser till $e$, så att vi kan utnyttja dessa trevliga egenskaper.

Bara som tillägg:

Det där med att skriva om till basen $e$ för att "se" derivatan... Det kräver att man redan känner till talet $e$ samt följande gränsvärde:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$

Och detta är inte direkt trivialt att komma fram till. Så det gömmer sig faktiskt en del arbete bakom den derivatan.

I denna tråd härleds derivatan till en godtycklig exponentialfunktion på formen $\displaystyle y=a^{kx}$ med hjälp av det gränsvärdet. Hoppas det kan vara till hjälp!

(Om du tycker att det är lite svårt att förstå (för ni har antagligen inte jobbat med gränsvärden ännu) så får du gärna ställa frågor eller återkomma när du är redo!)

Det kan också tilläggas att det är från gränsvärdet ovan som definitionen för talet $e$ jag hänvisade till kommer. Detta är visserligen lite matematiskt aja baja, jag är säker på att det hade orsakat viss hjärtklappning på en rigorös matematiker, men:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1\implies \frac{e^{h}-1}{h}\approx 1$ (då h är mycket litet)

$\displaystyle \frac{e^{h}-1}{h}\approx 1\iff e\approx (h+1)^{1/h}\implies e=\lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}=\lim_{h \to \infty} (1+\frac{1}{h})^{h}$

Ville bara dela den bästa förklaringen enligt mig av talet e, gör det väldigt tydligt:

https://www.youtube.com/watch?v=BfbZPEevM64