15 svar
246 visningar
Dkcre är nöjd med hjälpen
Dkcre 933
Postad: 25 dec 2023 21:07

Varför används Talet 'e' som bas för ln?

Hej!

Så en exponentialfunktion med talet 'e' som bas, har samma lutning på tangenten för en given punkt som själva f(x) av den funktionen. Vidare så är det även gränsen för hur mycket ett värde kan öka om man fördelar ut en ökning på 100% över oändligt antal delningar. Vad jag förstår.

Men varför är detta av intresse? Användning av talet e som bas vid matematisk analys besparar oss från några beräkningar vad jag förstår.

Läser bara matte 2, och har inte gått igenom logaritmer än heller, så bör egentligen inte engagera mig med det här nu men finner det svårt att släppa.

Har läst lite, kollat på videon från 3b1b osv. Men greppar det inte riktigt i alla fall.

Tack :)

Mesopotamia 627
Postad: 25 dec 2023 21:25

Hej, 

Det du skriver stämmer endast delvis.

Bara funktionen f(x)=ex har derivatan f'(x)=ex.

Om du har funktionen g(x)=e3x har denna derivatan g'(x)=3e3x.

Bra att du är intresserad av detta. Jag rekommenderar dig att läsa först om derivata på matteboken.se och sedan om talet e för att få bättre förståelse och helhetsbild.

Talet e i sig är inte så intressant. Det är exponentialfunktionen ex som gör hela e intressant, eftersom dess derivata är lika med funktionens värde i en punkt a. Det finns ett helt område inom matematiken som är ägnat åt talet e och hur det används i olika formler och modeller, hela textböcker har skrivits om det, därför är det svårt att ge dig ett koncist svar här. Om du är intresserad finns det bra information på bl.a. Wikipedia om dess historia och användningsområden.

Lycka till!

naytte 3509
Postad: 25 dec 2023 21:31 Redigerad: 25 dec 2023 21:31

Som tillägg till föregående svar och som svar på frågan i titeln:

Basen ee används för den naturliga logaritmen eftersom den är definierad så. En logaritm kan ha vilken bas som helst, och den naturliga logaritmen är helt enkelt den logaritm som har basen ee.

Dkcre 933
Postad: 25 dec 2023 21:54

Lite slarvigt skrivet av mig, jag förstår att hela definitionen av 'naturliga logaritmen' är att det har basen e. Vi har bestämt det så.

Förstår att derivatan är densamma som exponentialfunktionens värde, också. Men inte varför det är av värde att det är så eller vad vi kan använda det till.

Kanske behöver lära mig mer om allt omkring för att vara med på det.

naytte 3509
Postad: 25 dec 2023 21:55

Kanske behöver lära mig mer om allt omkring för att vara med på det.

Låter rimligt!

Dkcre 933
Postad: 25 dec 2023 22:01

Kanske. Borde inte vara alltför svårt att greppa ändå kan jag tycka, men får försöka släppa det ändå 

naytte 3509
Postad: 25 dec 2023 23:24 Redigerad: 25 dec 2023 23:27

Svårt borde det nog inte vara, men det kräver lite bakgrund i väldigt grundläggande analys. En vanlig definition av talet ee är:

e=limx(1+1x)x\displaystyle e=\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}

Den här definitionen dyker exempelvis upp när man försöker bestämma derivatan till en exponentialfunktion. Utan talet ee går detta inte.

Dkcre 933
Postad: 26 dec 2023 00:04 Redigerad: 26 dec 2023 00:05

Jag vet inte riktigt vad det där betyder, men ungefär att gränsvärdet vi närmar oss eller går mot när X går mot det oändliga i följande funktion/uttryck är = 2.72.

Är det inte så att det alltid går (bör göras) att skriva om alla exponentialfunktioner till att använda sig av e som bas istället för vad som nu används, men istället ändra exponenten. För att det av någon anledning underlättar någon beräkning.

naytte 3509
Postad: 26 dec 2023 00:08 Redigerad: 26 dec 2023 00:08

Är det inte så att det alltid går (bör göras) att skriva om alla exponentialfunktioner till att använda sig av e som bas istället för vad som nu används, men istället ändra exponenten. För att det av någon anledning underlättar någon beräkning.

Här förstår jag inte riktigt vad du menar. Kan du ge ett exempel?

Jag vet inte riktigt vad det där betyder, men ungefär att gränsvärdet vi närmar oss eller går mot när X går mot det oändliga i följande funktion/uttryck är = 2.72.

Talet ee definieras som det där gränsvärdet, alltså som gränsvärdet av (1+1x)xxx går mot oändligheten. Men det var lite det här jag menade. Jag tror att du måste förstå lite grundläggande analys innan du kan ge dig på talet ee

Dkcre 933
Postad: 26 dec 2023 00:28

Nej..jag kan inte ge något exempel. Försöker förstå användningsområdet bara 

naytte 3509
Postad: 26 dec 2023 00:30 Redigerad: 26 dec 2023 00:38

Jo, men det lät som du tänkte på något specifikt. Alltså man kan ju alltid skriva om exponentialfunktioner på detta sätt:
akx=ekxlna

Men det här är inte direkt enklare att derivera eller jobba med.

Dkcre 933
Postad: 26 dec 2023 00:39

Okej, ja, nej, får vänta tills jag får igenom materialet.

oggih 1114 – F.d. Moderator
Postad: 26 dec 2023 11:56 Redigerad: 26 dec 2023 12:02

Dkcre skrev:

Läser bara matte 2, och har inte gått igenom logaritmer än heller, så bör egentligen inte engagera mig med det här nu men finner det svårt att släppa.

Jag tycker det låter väldigt sunt att engagera sig i detta redan nu! ^_^

Och jag skulle säga att du redan är inne på en bra förklaring, nämligen att exe^x i någon mening är den enklaste exponentialfunktionen. Till exempel är den sin egen derivata:

   ddxex=ex\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x

och det finns också en väldigt trevlig formel för hur man kan approximera den som ett polynom:

   ex=1+x1+x21·2+x31·2·3+x41·2·3·4+e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots

Om man har en annan exponentialfunktion axa^x så vill man därför gärna skriva om den till en exponentialfunktion med basen ee, och det är för att göra detta man behöver den naturliga logaritmen. Den gör det nämligen möjligt att skriva a=eln(a)a=e^{\ln(a)}, vilket i sin tur ger att

   ax=(eln(a))x=eln(a)xa^x=(e^{\ln(a)})^x=e^{\ln(a)x},

och plötsligt är det relativt enkelt att se att derivatan är

  ddxax=ddxeln(a)x=ln(a)·eln(a)x=ln(a)·ax\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\ln(a)x}=\ln(a)\cdot e^{\ln(a)x}=\ln(a)\cdot a^x

och att vi har polynomapproximationen

   ax=eln(a)x=1+ln(a)x1+(ln(a)x)21·2+(ln(a)x)31·2·3+(ln(a)x)41·2·3·4+a^x=e^{\ln(a)x}=1+\frac{\ln(a)x}{1}+\frac{(\ln(a)x)^2}{1\cdot 2}+\frac{(\ln(a)x)^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{(\ln(a)x)^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots

Så summan av kardemumman är väl att exe^x har väldigt trevliga egenskaper, och den naturliga logaritmen gör det möjligt att översätta från andra baser till ee, så att vi kan utnyttja dessa trevliga egenskaper.

naytte 3509
Postad: 26 dec 2023 13:51 Redigerad: 26 dec 2023 14:07

Bara som tillägg:

Det där med att skriva om till basen ee för att "se" derivatan... Det kräver att man redan känner till talet ee samt följande gränsvärde:

limh0eh-1h=1\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1

Och detta är inte direkt trivialt att komma fram till. Så det gömmer sig faktiskt en del arbete bakom den derivatan.

I denna tråd härleds derivatan till en godtycklig exponentialfunktion på formen y=akx\displaystyle y=a^{kx} med hjälp av det gränsvärdet. Hoppas det kan vara till hjälp!

(Om du tycker att det är lite svårt att förstå (för ni har antagligen inte jobbat med gränsvärden ännu) så får du gärna ställa frågor eller återkomma när du är redo!)

naytte 3509
Postad: 26 dec 2023 15:38

Det kan också tilläggas att det är från gränsvärdet ovan som definitionen för talet ee jag hänvisade till kommer. Detta är visserligen lite matematiskt aja baja, jag är säker på att det hade orsakat viss hjärtklappning på en rigorös matematiker, men:

limh0eh-1h=1eh-1h1\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1\implies \frac{e^{h}-1}{h}\approx 1 (då h är mycket litet)

eh-1h1e(h+1)1/he=limh0(1+h)1/h=limh(1+1h)h\displaystyle \frac{e^{h}-1}{h}\approx 1\iff e\approx (h+1)^{1/h}\implies e=\lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}=\lim_{h \to \infty} (1+\frac{1}{h})^{h}

Dkcre 933
Postad: 2 jan 20:59

Ville bara dela den bästa förklaringen enligt mig av talet e, gör det väldigt tydligt:

https://www.youtube.com/watch?v=BfbZPEevM64

Svara Avbryt
Close