Varför är tomma mängden en delmängd till alla mängder?

Halloj!

En fråga jag har funderat på länge och skulle vilja gå till botten med är varför tomma mängden, $\emptyset$ , är en delmängd till alla mängder. $A$ är en delmängd till $B$ om och endast om det för alla $x$ gäller att om $x\in A$ så följer $x\in B$ . Uttryckt som ett påstående:

$\displaystyle A\subseteq B \equiv (\forall x)(x\in A \implies x\in B)$

Alternativt:

$\displaystyle A\subseteq B \equiv \forall x\in A: x\in B$

Jag förstår inte hur man kan använda dessa definitioner för att bevisa att tomma mängden är en delmängd till alla mängder $B$ . Tomma mängden saknar ju elemenet. Det finns inget $x$ i $\emptyset$ . Jag menar alltså att detta:

$\displaystyle \forall x \in \emptyset : x\in B$

knappast kan vara sant, eller? Samtidigt finns det ju heller inget element i $\emptyset$ som motbevisar vår hypotes, så...? Innebär det att det är sant då? Det vill säga, det existerar inget $x\in\emptyset$ sådant att $\neg (x\in B)$ .

Antag $A$ inte är en delmängd av $B$ . Då kan man finna ett $x$ så att $x \in A$ och $x \notin B$ (negationen av $x \in A \Rightarrow x \in B$ för alla $x$ ).

Och eftersom $\emptyset$ är tom finns inget sådant $x$ . Det vill säga, $\neg(\neg P(x)) \implies P(x)$ ?

naytte skrev:
Och eftersom $\emptyset$ är tom finns inget sådant $x$ . Det vill säga, $\neg(\neg P(x)) \implies P(x)$ ?

Yes, sätter man $A = \emptyset$ kommer motsägelsen in när man påstår att "det finns ett $x \in \emptyset$ ", något som naturligtvis ej kan vara sant (definitionen av tomma mängden).

Har för mig att man kallar detta för en "tom sanning" (eng. vacuous truth) och stammar från att $P \Rightarrow Q$ är en tautologi när $P$ är ett falskt påstående. I detta fall är $P$ påståendet att $x \in \emptyset$ och $Q$ påståendet $x \in B$ .

Fattar. Jag hänger med på resonemanget men det känns mer som en "quirk" än något som borde "vara sant" egentligen. Låt säga att jag påstår:

Alla enhörningar i min trädgård har vingar

Negationen av detta påstående är uppenbarligen falsk, men innebär det verkligen att mitt ursprungliga påstående är sant? Det finns ju inga enhörningar i min trädgård så det är orimligt att jag skulle kunna påstå något om dem.

Japp! :) Enligt matematisk logik är det ett sant påstående. Mängden enhörningar är ju tom och påståendet är därmed en "tom sanning"...

Svara

Visa senaste svar