Varför behöver vi konstruera tal överhuvudtaget?

Det finns inget som säger att den enes intuition överensstämmer med den andres. Om vi ska kunna kommunicera behöver vi därför strikta definitioner. Dessa kan hos den enskilde strida mot dennes intuition.

Dessutom ändras den intuitiva förståelsen av talen över tid - i alla fall min.

Det var en chock  för intuitionen att det finns "lika många" rationella tal som heltal och när min intuition väl hämtat sig något från den kom det fram att de reella talen är "fler" ...  

Tomten skrev:

Det finns inget som säger att den enes intuition överensstämmer med den andres. Om vi ska kunna kommunicera behöver vi därför strikta definitioner. Dessa kan hos den enskilde strida mot dennes intuition.

Så är det givetvis. Men har jag förstått det rätt som att en av anledningarna till att vi explicit konstruerar talmängderna är för att visa att de faktiskt finns? Låt säga att någon säger:

Låt $\mathbb{R}$ vara en linjärt ordnad, Dedekind-komplett kropp

Utan att ha något mer fundamentalt att luta sig på är det kanske inte säkert att en kropp kan vara t.ex. både Dedekind-komplett och linjärt ordnad samtidigt. Om vi har axiom (ZF) att luta oss på kan vi visa att en kropp med den strukturen faktiskt existerar. Men vad är det som gör ZF-axiomen mer rätt än andra axiom? Hade vi valt andra axiom hade vi kanske kunnat visa att en sådan kropp faktiskt inte existerar, men det matchar ju inte vår intuition.

farfarMats skrev:

Dessutom ändras den intuitiva förståelsen av talen över tid - i alla fall min.

Det var en chock  för intuitionen att det finns "lika många" rationella tal som heltal och när min intuition väl hämtat sig något från den kom det fram att de reella talen är "fler" ...  

För att inte nämna att det finns "lika många" tal på den reella tallinjen som det finns i hela det komplexa talplanet! Eller att det finns space-filling curves! Eller en sådan sak som att den absoluta majoriten av reella tal inte ens är beräkningsbara! Man kan absolut med visst fog hävda att de reella talen är ointuitiva – för att inte säga direkt suspekta – och att det är lite förvånande att en så pass abstrakt och verklighetsfrånvänd konstruktion fungerar så väl som den ändå gör.

Jag tror som ovanstående talare att det är en farlig väg att försöka bygga matematik bara på intuition. Vi kan och bör använda intuition och inspiration från verkligheten, men till syvene och sist behöver den högsta prioriteten vara att säkerställa att matematiken vi bygger är rigorös. Då är det bland annat helt avgörande att ha en explicit konstruktion av de talmängder vi jobbar med, så att vi säkert vet att de axiom vi har för våra talsystem inte leder till motsägelser. Sen är det upp till epxerimentalister, ingejörer och samhället i stort att avgöra vilka talsystem som är användbara för att modellera verkligheten.

naytte skrev:

Utan att ha något mer fundamentalt att luta sig på är det kanske inte säkert att en kropp kan vara t.ex. både Dedekind-komplett och linjärt ordnad samtidigt. Om vi har axiom (ZF) att luta oss på kan vi visa att en kropp med den strukturen faktiskt existerar. Men vad är det som gör ZF-axiomen mer rätt än andra axiom? Hade vi valt andra axiom hade vi kanske kunnat visa att en sådan kropp faktiskt inte existerar, men det matchar ju inte vår intuition.

Det är absolut inte självklart vilka axiom vi ska bygga matematiken på, utan det styrs av vår intution, våra estetiska preferenser och vad som ger praktiskt användbara koncept och resultat som vi kan använda för att modellera vår omvärld. ZF har visat sig fungera väldigt till på alla punkter, vilket är en stor anledning till att de flesta förankrar sin teori där –med eller utan tillägg av urvalsaxiomet. U

Just urvalsaxiomet är ju ett utmärkt exempel på att valen av axiom inte är så sjävklara. Många tar ju urvalsaxiomet för givet, och det har en del väldigt tillfredställande konsekvenser (såsom att varje vektorrum har en bas), men det leder ju onekligen till en hel del saker som, åtminstone vid första anblicken, kan kännas väldigt suspekta (som till exempel Banach–Tarskis paradox).

Jag håller såklart med om att det är farligt att bygga allting på intuition allena.

Min fundering handlar mer om vad målet med våra explicita konstruktioner är. Det verkar som om en av de viktigaste aspekterna är att visa att objekt med egenskaper vi tillskriver dem faktiskt existerar. Men om axiomen är godtyckliga i bemärkelsen att två uppsättningar axiom kan säga emot varandra, varför ger oss konstruktionerna med grund i axiomen trygghet i att det faktiskt finns en linjärt ordnad, Dedekind-komplett kropp eller vad man nu tar för exempel? Tänk om axiomen helt enkelt är "fel"? För exempelvis en fysiker är ju målet trots allt att skapa objekt som man kan använda i verkligheten, men tänk om axiomen är "verklighetsfrånvända" eller hur man nu ska uttrycka det. 

Vi vill kunna visa att det finns någon slags abstrakt "struktur" som har linjär ordning och completeness samtidigt, alltså att detta inte utgör en "logisk motsägelse". Men huruvida det är en logisk motsägelse beror ju delvis helt på axiomvalen.

Det som skaver är kanske vad "existens" och "finnas" ens ska betyda. Man vill ju att dessa begrepp ska uttrycka någon slags universell sanning men det kanske är för mycket begärt.

Tillägg: 30 dec 2025 21:12

Jag hoppas min fråga framgår någorlunda. Den är lite förvirrad och det beror på att jag är förvirrad och inte riktigt vet hur jag ska uttrycka mig.

Jag vet inte om det här svarar på någon av dina frågor direkt, men tänkte att jag kunde dela mitt perspektiv.

Man kan ju konstatera att matematik har varit extremt användbart för att beskriva och modellera fenomen från vår värld. Det har dock genom flera tusen år inte varit någon rigorös, formell matematik i den moderna bemärkelsen som människan använt. Man har förlitat sig på geometriska intuitioner och annat. 

Jag skulle inte formulera det som att talen inte faktiskt "existerat" innan de konstruerats som mängder i ZFC eller dylikt. Jag skulle säga att begreppen funnits i årtusenden och att vi i modern tid utvecklat mer systematiska sätt att se på dem. Jag ser det snarare som mänskliga idéer som utvecklats i en matematisk diskurs. Med andra ord så existerar talsystemen inte på ett ontologiskt annorlunda sätt innan och efter deras konstruktion. Däremot kan man prata om deras existens relativt, säg, ett axiomatiskt system.

Med det sagt så är väl poängen med konstruktionerna av talsystemen i exempelvis axiomatisk mängdteori helt enkelt att man visar att axiomen logiskt leder till existensen av (något som beter sig som) de talsystem man redan är bekant med. Det betyder då att det existerar objekt i just denna axiomatiska teori som har några egenskaper vi vill att det ska ha. Man kan se det som att axiomen lyckats fånga en av de saker man ville ha med. Men det formella matematiska objektet existerar endast i just detta axiomatiska system. "Existerar" betyder här att det följer från axiomen. Det ger ingen trygghet i att det existerar något objekt "där ute". Vad som guidar oss till hur vi utformar axiomen och de objekt vi vill ha är precis som oggih säger olika fenomen från vår värld, vår egen estetik och annat. Jag skulle inte se det som att vissa axiom är "fel", utan beroende på våra val av axiom kommer får vi en mer eller mindre intressant/användbar teori.

Ett system som utifrån ett litet antal axiom kan fungera som ramverk för nästan all annan matematik gör resonemang mer rigorösa och ger en koherens till de olika delarna av matematiken. Det ska dock sägas att system som ZFC inte kan demonstrera sin egen konsistens. Med andra ord kan det från ZFC:s axiom omöjligen visas att systemet är konsistent. Många tvivlar på att ZFC skulle kunna vara inkonsistent, men vi kommer tyvärr aldrig kunna veta detta säkert (pga Gödels ofullständighetsteorem). Så i en viss bemärkelse slutade projektet att samla matematiken i ett enhetligt axiomatiskt system i ett misslyckande. Men även om ZFC skulle visa sig inkonsistent, skulle inte hela resten av matematiken plötsligt sluta att fungera.

En stor anledning till den utveckling i matematiken under 1800-talet och framåt var att man sökte efter en stabilare grund för matematiken. Man hade helt enkelt gjort såpass stora framsteg att behovet av robustare resonemang tycktes nödvändigt för fortsatt utveckling (min tolkning).

Gränsvärden, derivator och dylikt inom den moderna analysen förlitade sig historiskt på geometrisk intuition sedan sin uppkomst på 1600-talet (Newton och Leibniz). Cauchy, Weierstrass och andra drev ett projekt att "aritmetisera" analysen, där målet var att göra sig av med all geometrisk intuition som grund för matematiska resonemang, och istället använda tal och algebra som stomme. Man hade redan lyckats med det mesta, t.ex. hade Bolzano (tror jag) kommit fram till den moderna ($\varepsilon$-$\delta$)-definitionen av gränsvärde. Till slut lyckades man också konstruera de reella talen (Dedekind).

En stor kris infann sig i slutet av 1800-talet och början på 1900-talet. Bland annat insåg man att parallellpostulatet inte kunde bevisas från de övriga axiomen, vilket potentiellt skulle kunna betyda att Euklidisk geometri var inkonsistent. Ett kanske ännu större problem var Russels paradox. Mängder var något man använde genomgående och det naiva mängdbegreppet visade sig riskera att göra hela matematiken motsägelsefull. Detta resulterade så småningom i uppkomsten av ZFC och andra varianter av axiomatiska system under första hälften av 1900-talet.