Varför behöver vi konstruera tal överhuvudtaget?

Det finns inget som säger att den enes intuition överensstämmer med den andres. Om vi ska kunna kommunicera behöver vi därför strikta definitioner. Dessa kan hos den enskilde strida mot dennes intuition.

Dessutom ändras den intuitiva förståelsen av talen över tid - i alla fall min.

Det var en chock  för intuitionen att det finns "lika många" rationella tal som heltal och när min intuition väl hämtat sig något från den kom det fram att de reella talen är "fler" ...  

Tomten skrev:

Det finns inget som säger att den enes intuition överensstämmer med den andres. Om vi ska kunna kommunicera behöver vi därför strikta definitioner. Dessa kan hos den enskilde strida mot dennes intuition.

Så är det givetvis. Men har jag förstått det rätt som att en av anledningarna till att vi explicit konstruerar talmängderna är för att visa att de faktiskt finns? Låt säga att någon säger:

Låt $\mathbb{R}$ vara en linjärt ordnad, Dedekind-komplett kropp

Utan att ha något mer fundamentalt att luta sig på är det kanske inte säkert att en kropp kan vara t.ex. både Dedekind-komplett och linjärt ordnad samtidigt. Om vi har axiom (ZF) att luta oss på kan vi visa att en kropp med den strukturen faktiskt existerar. Men vad är det som gör ZF-axiomen mer rätt än andra axiom? Hade vi valt andra axiom hade vi kanske kunnat visa att en sådan kropp faktiskt inte existerar, men det matchar ju inte vår intuition.

farfarMats skrev:

Dessutom ändras den intuitiva förståelsen av talen över tid - i alla fall min.

Det var en chock  för intuitionen att det finns "lika många" rationella tal som heltal och när min intuition väl hämtat sig något från den kom det fram att de reella talen är "fler" ...  

För att inte nämna att det finns "lika många" tal på den reella tallinjen som det finns i hela det komplexa talplanet! Eller att det finns space-filling curves! Eller en sådan sak som att den absoluta majoriten av reella tal inte ens är beräkningsbara! Man kan absolut med visst fog hävda att de reella talen är ointuitiva – för att inte säga direkt suspekta – och att det är lite förvånande att en så pass abstrakt och verklighetsfrånvänd konstruktion fungerar så väl som den ändå gör.

Jag tror som ovanstående talare att det är en farlig väg att försöka bygga matematik bara på intuition. Vi kan och bör använda intuition och inspiration från verkligheten, men till syvene och sist behöver den högsta prioriteten vara att säkerställa att matematiken vi bygger är rigorös. Då är det bland annat helt avgörande att ha en explicit konstruktion av de talmängder vi jobbar med, så att vi säkert vet att de axiom vi har för våra talsystem inte leder till motsägelser. Sen är det upp till epxerimentalister, ingejörer och samhället i stort att avgöra vilka talsystem som är användbara för att modellera verkligheten.

naytte skrev:

Utan att ha något mer fundamentalt att luta sig på är det kanske inte säkert att en kropp kan vara t.ex. både Dedekind-komplett och linjärt ordnad samtidigt. Om vi har axiom (ZF) att luta oss på kan vi visa att en kropp med den strukturen faktiskt existerar. Men vad är det som gör ZF-axiomen mer rätt än andra axiom? Hade vi valt andra axiom hade vi kanske kunnat visa att en sådan kropp faktiskt inte existerar, men det matchar ju inte vår intuition.

Det är absolut inte självklart vilka axiom vi ska bygga matematiken på, utan det styrs av vår intution, våra estetiska preferenser och vad som ger praktiskt användbara koncept och resultat som vi kan använda för att modellera vår omvärld. ZF har visat sig fungera väldigt till på alla punkter, vilket är en stor anledning till att de flesta förankrar sin teori där –med eller utan tillägg av urvalsaxiomet. U

Just urvalsaxiomet är ju ett utmärkt exempel på att valen av axiom inte är så sjävklara. Många tar ju urvalsaxiomet för givet, och det har en del väldigt tillfredställande konsekvenser (såsom att varje vektorrum har en bas), men det leder ju onekligen till en hel del saker som, åtminstone vid första anblicken, kan kännas väldigt suspekta (som till exempel Banach–Tarskis paradox).

Jag håller såklart med om att det är farligt att bygga allting på intuition allena.

Min fundering handlar mer om vad målet med våra explicita konstruktioner är. Det verkar som om en av de viktigaste aspekterna är att visa att objekt med egenskaper vi tillskriver dem faktiskt existerar. Men om axiomen är godtyckliga i bemärkelsen att två uppsättningar axiom kan säga emot varandra, varför ger oss konstruktionerna med grund i axiomen trygghet i att det faktiskt finns en linjärt ordnad, Dedekind-komplett kropp eller vad man nu tar för exempel? Tänk om axiomen helt enkelt är "fel"? För exempelvis en fysiker är ju målet trots allt att skapa objekt som man kan använda i verkligheten, men tänk om axiomen är "verklighetsfrånvända" eller hur man nu ska uttrycka det. 

Vi vill kunna visa att det finns någon slags abstrakt "struktur" som har linjär ordning och completeness samtidigt, alltså att detta inte utgör en "logisk motsägelse". Men huruvida det är en logisk motsägelse beror ju delvis helt på axiomvalen.

Det som skaver är kanske vad "existens" och "finnas" ens ska betyda. Man vill ju att dessa begrepp ska uttrycka någon slags universell sanning men det kanske är för mycket begärt.

Tillägg: 30 dec 2025 21:12

Jag hoppas min fråga framgår någorlunda. Den är lite förvirrad och det beror på att jag är förvirrad och inte riktigt vet hur jag ska uttrycka mig.

Jag vet inte om det här svarar på någon av dina frågor direkt, men tänkte att jag kunde dela mitt perspektiv.

Man kan ju konstatera att matematik har varit extremt användbart för att beskriva och modellera fenomen från vår värld. Det har dock genom flera tusen år inte varit någon rigorös, formell matematik i den moderna bemärkelsen som människan använt. Man har förlitat sig på geometriska intuitioner och annat. 

Jag skulle inte formulera det som att talen inte faktiskt "existerat" innan de konstruerats som mängder i ZFC eller dylikt. Jag skulle säga att begreppen funnits i årtusenden och att vi i modern tid utvecklat mer systematiska sätt att se på dem. Jag ser det snarare som mänskliga idéer som utvecklats i en matematisk diskurs. Med andra ord så existerar talsystemen inte på ett ontologiskt annorlunda sätt innan och efter deras konstruktion. Däremot kan man prata om deras existens relativt, säg, ett axiomatiskt system.

Med det sagt så är väl poängen med konstruktionerna av talsystemen i exempelvis axiomatisk mängdteori helt enkelt att man visar att axiomen logiskt leder till existensen av (något som beter sig som) de talsystem man redan är bekant med. Det betyder då att det existerar objekt i just denna axiomatiska teori som har några egenskaper vi vill att det ska ha. Man kan se det som att axiomen lyckats fånga en av de saker man ville ha med. Men det formella matematiska objektet existerar endast i just detta axiomatiska system. "Existerar" betyder här att det följer från axiomen. Det ger ingen trygghet i att det existerar något objekt "där ute". Vad som guidar oss till hur vi utformar axiomen och de objekt vi vill ha är precis som oggih säger olika fenomen från vår värld, vår egen estetik och annat. Jag skulle inte se det som att vissa axiom är "fel", utan beroende på våra val av axiom kommer får vi en mer eller mindre intressant/användbar teori.

Ett system som utifrån ett litet antal axiom kan fungera som ramverk för nästan all annan matematik gör resonemang mer rigorösa och ger en koherens till de olika delarna av matematiken. Det ska dock sägas att system som ZFC inte kan demonstrera sin egen konsistens. Med andra ord kan det från ZFC:s axiom omöjligen visas att systemet är konsistent. Många tvivlar på att ZFC skulle kunna vara inkonsistent, men vi kommer tyvärr aldrig kunna veta detta säkert (pga Gödels ofullständighetsteorem). Så i en viss bemärkelse slutade projektet att samla matematiken i ett enhetligt axiomatiskt system i ett misslyckande. Men även om ZFC skulle visa sig inkonsistent, skulle inte hela resten av matematiken plötsligt sluta att fungera.

En stor anledning till den utveckling i matematiken under 1800-talet och framåt var att man sökte efter en stabilare grund för matematiken. Man hade helt enkelt gjort såpass stora framsteg att behovet av robustare resonemang tycktes nödvändigt för fortsatt utveckling (min tolkning).

Gränsvärden, derivator och dylikt inom den moderna analysen förlitade sig historiskt på geometrisk intuition sedan sin uppkomst på 1600-talet (Newton och Leibniz). Cauchy, Weierstrass och andra drev ett projekt att "aritmetisera" analysen, där målet var att göra sig av med all geometrisk intuition som grund för matematiska resonemang, och istället använda tal och algebra som stomme. Man hade redan lyckats med det mesta, t.ex. hade Bolzano (tror jag) kommit fram till den moderna ($\varepsilon$-$\delta$)-definitionen av gränsvärde. Till slut lyckades man också konstruera de reella talen (Dedekind).

En stor kris infann sig i slutet av 1800-talet och början på 1900-talet. Bland annat insåg man att parallellpostulatet inte kunde bevisas från de övriga axiomen, vilket potentiellt skulle kunna betyda att Euklidisk geometri var inkonsistent. Ett kanske ännu större problem var Russels paradox. Mängder var något man använde genomgående och det naiva mängdbegreppet visade sig riskera att göra hela matematiken motsägelsefull. Detta resulterade så småningom i uppkomsten av ZFC och andra varianter av axiomatiska system under första hälften av 1900-talet.

Kan man betrakta ZF(C)-axiomen som något slags metafysiskt påstående om “vad som måste vara sant” för att åtminstone de vanliga objekten vi vill ha med de vanliga egenskaperna ska existera? De formaliserar ju trots allt något extremt fundamentalt, det att dela in saker i mängder.

Jag är med på att vi hade kunnat välja andra axiom och då kanske inte kunnat konstruera samma objekt, men ZF(C)-axiomen framför allt känns ju extremt rimliga, och det kan ju inte vara ett sammanträffande..! Så någonstans borde de kanske ha högre ”ontologisk status” än andra axiomval (särskilt om de tillåter konstruktionen av objekt som ZF(C) förbjuder).

Hej, igen!

Jag skulle efter vidare eftertanke vilja återuppliva den här tråden igen.

Jag läste nyligen ett inlägg där någon menade att de mängdteoretiska konstruktioner vi skapar av de strukturer vi vill ha (naturliga tal, heltal etc.) inte definierar strukturerna som sådana, utan är ett sätt att visa att de "existerar" i bemärkelsen att de egenskaper vi vill tillskriva dem är konsistenta, vilket även vi var inne på tidigare i tråden.

Det som irriterar mig med detta tankesätt är att konsistens bara går att bevisa relativt ett axiomatiskt system. Låt säga att vi funderar på om Peanoaritmetik nu verkligen är konsistent. Någon dyker upp och visar att han i sitt axiomatiska system kan bevisa att så är fallet. Senare kommer en annan person och visar att han, relativt andra axiom, kan bevisa att Peanoaritmetiken är inkonsistent. Har vi nu verkligen kommit någonstans i vår strävan att bevisa aritmetikens konsistens?

Hela konsistensbegreppet verkar lite... tja, meningslöst, eftersom det ändå bara beror på ens axiomval.

Så som jag ser det skulle vi dock ändå kunna räddas. Om vi lyckas komma överens om att vissa axiom är mer rätt än andra, då skulle problemet vara utrett. Men då är vi ju ändå tillbaka i idén om att man använder intuition för att bygga sina axiom och inte tvärtom: om axiomen låter en bevisa att Peanoaritmetiken är inkonsistent, ja då skulle vi förstås förkasta axiomen och inte aritmetiken.

naytte skrev:

Hej, igen!

Jag skulle efter vidare eftertanke vilja återuppliva den här tråden igen.

Jag läste nyligen ett inlägg där någon menade att de mängdteoretiska konstruktioner vi skapar av de strukturer vi vill ha (naturliga tal, heltal etc.) inte definierar strukturerna som sådana, utan är ett sätt att visa att de "existerar" i bemärkelsen att de egenskaper vi vill tillskriva dem är konsistenta, vilket även vi var inne på tidigare i tråden.

Det som irriterar mig med detta tankesätt är att konsistens bara går att bevisa relativt ett axiomatiskt system. Låt säga att vi funderar på om Peanoaritmetik nu verkligen är konsistent. Någon dyker upp och visar att han i sitt axiomatiska system kan bevisa att så är fallet. Senare kommer en annan person och visar att han, relativt andra axiom, kan bevisa att Peanoaritmetiken är inkonsistent. Har vi nu verkligen kommit någonstans i vår strävan att bevisa aritmetikens konsistens?

Hela konsistensbegreppet verkar lite... tja, meningslöst, eftersom det ändå bara beror på ens axiomval.

Så som jag ser det skulle vi dock ändå kunna räddas. Om vi lyckas komma överens om att vissa axiom är mer rätt än andra, då skulle problemet vara utrett. Men då är vi ju ändå tillbaka i idén om att man använder intuition för att bygga sina axiom och inte tvärtom: om axiomen låter en bevisa att Peanoaritmetiken är inkonsistent, ja då skulle vi förstås förkasta axiomen och inte aritmetiken.

Det känns lite som du är inne på samma  existentiella kris som matematiken gick igenom under 1900-talets första hälft. På grund av Gödels andra ofullständighetsteorem, som visar att inget tillräckligt kraftfullt formellt system kan bevisa sin egen konsistens, så blev vissa ganska besvikna. David Hillberts program om att hitta en fullständig och konsistent mängd axiom för all matematik visade sig vara omöjligt.

Jag skulle dock vilja hävda att det inte är helt godtyckligt vad vi väljer för axiom. De naturliga talen fanns i många olika former långt innan $ZFC$ eller Peanoaritmetiken $P$ kom till. Axiomen man valde togs inte hejvilt ur luften, utan man försökte "reverse-engineera" (omvänd-ingenjöra? förslag på översättning?) en beskrivning av något man redan intuitivt förstod och använde. Axiom väljs både genom ett slags inre, intrinsiskt rättfärdigande, som något som "är uppenbart", men också ibland extrinsiskt, dvs. i hur användbara de visar sig vara (t.ex. urvalsaxiomet).

Jag tolkar din frågeställning att handla om relativ konsistens, specifikt om vi har teorier $S$ och $T$ där $S$ kan visa att Peanoaritmetiken $P$ är konsistent och $T$ kan visa att $P$ är inkonsistent.

Här är lite mer om det och varför det kan vara användbart:

Låt $\operatorname{Con}(T)$ beteckna formeln

$\operatorname{Con}(T)=$ "det finns ingen formel $F$ sådan att man kan derivera både $F$ och $\neg F$ i teorin $T$".

(I själva verket är $\operatorname{Con}(T)$ en konkret sluten formel; ett konkret påstående om naturliga tal som kodats från formella symboler; se Gödel numbers.)

Vi definierar den relativa konsistensen av en teori $T$ relativt en teori $S$ som

$\operatorname{Con}(S)\implies \operatorname{Con}(T)$.

Med andra ord så säger vi att "om $S$ är konsistent, så är $T$ konsistent".

Låt säga att $P$ är konsistent relativt en teori $T$ men inkonsistent relativt en teori $S$, dvs. att

$\operatorname{Con}(T)\implies \operatorname{Con}(P)$ och

$\operatorname{Con}(S)\implies \neg\operatorname{Con}(P)$.

Till exempel kan vi ta $T$ till att vara $ZFC$. I $ZFC$ kan man konstruera en modell för $P$, så $ZFC\vdash \operatorname{Con}(P)$. Låt nu $S=P\cup\{\neg\operatorname{Con}(P)\}$. På grund av Gödels andra ofullständighetsteorem så kan inte $P$ bevisa $\operatorname{Con}(P)$. Därför är $S$ konsistent så länge $P$ är konsistent. Från konstruktionen fås direkt att $S\vdash \neg\operatorname{Con}(P)$.

Men hur kan denna situation ens uppstå? Kan $P$ verkligen vara konsistent, och i sådana fall är det inte konstigt att $S$ kan vara konsistent? Förklaringen har att göra med att $T$ och $S$ har olika universum. Ett tal för $T$ är inte samma som ett tal som för $S$.

Eftersom $S$ innehåller $\neg\operatorname{Con}(P)$, dvs. direkt påstår att $P$ är inkonsistent, måste varje modell av $S$ innehålla så kallade icke-standard tal. Varför?

Via Gödelnumrering är formeln $\neg\operatorname{Con}(P)$ ekvivalent till påståendet att "det finns ett tal $k$ som kodar ett giltigt bevis av $0=1$ i $P$". Men vilket tal kan $k$ vara? Kan $k=0$? Nej, $0$ kodar inte ett bevis av $0=1$. Kan $k=1$? Nej. Och så vidare. Talet $k$ kan inte vara något naturligt tal. För om det vore det skulle vi direkt kunna översätta $k$ till ett konkret bevis i $P$ av $0=1$.

Trots detta så bevisar $S$ att det måste finnas ett sådant $k$. Slutsatsen blir att $k$ måste vara något bortom våra vanliga naturliga tal, ett så kallat icke-standard tal.

Vad är då meningen med detta? Är det användbart?

Gödels andra ofullständighetsteorem medför att inget tillräckligt kraftfullt formellt system kan bevisa sin egen konsistens. Vi har alltså inget hopp om att undersöka ett systems "absoluta" konsistens. Det näst bästa blir därför relativ konsistens, där vi t.ex. visa att $P$ är konsistent om $ZFC$ är det. Vi kan se detta som att $P$ är "minst lika säkert" som $ZFC$, i bemärkelsen att om $ZFC$ inte kollapsar kommer inte heller $P$ göra det. Vi får en slags hierarki på detta vis.

En annan sak man kan göra med relativ konsistens, som Paul Cohen vann en Fieldsmedalj för, är att bevisa att Kontinuumhypotesen ($CH$) är oberoende av axiomen i $ZF$ eller $ZFC$. Konkret visade han att

$\operatorname{Con}(ZFC)\implies \operatorname{Con}(ZFC + CH)\land \operatorname{Con}(ZFC+\neg CH)$. Dessa två relativa konsistenspåståenden tillsammans innebär att $CH$ är oberoende av $ZFC$, dvs. den kan aldrig bevisas sann eller falsk med axiomen i $ZFC$. Vi kan tolka detta som att $ZFC$ inte är tillräckligt kraftfullt för att kunna "avgöra" $CH$.

Tack för utläggningen!

Min fråga handlar mest om det faktum att de matematiska objekt vi använder oftast föregår de axiom vi väljer (t.ex. heltal, rationella tal). Vi har använt använt dessa i millenier utan några axiom eller någon formell teori, helt utan problem. Så någonstans är det väl redan från början självklart att dessa objekt "finns" i någon mening. Varför räcker det inte med att stanna där och bara köra vidare? 

Exempelvis, om målet är att undersöka huruvida en teori $T$ är konsistent, att den struktur man vill använda inte låter en bevisa motsägelser, varför skulle en axiomatisering vara lösningen på det problemet? Låt säga att du kokar ihop en kraftfullare teori $S$ i vilken du kan bevisa att $T$ är konsistent. Sedan kokar jag ihop en teori $K$ i vilken jag kan bevisa att $T$ är inkonsistent. Är din teori då "mer korrekt" i någon verklighetsförankrad bemärkelse än min? Om vi ändå bara hittar på axiomen så att vi kan bevisa det vi vill ska vara sant, varför behöver vi dem ens? De förlänar oss ju liksom inget nytt.

Ett hänseende, i vilket jag tror att en axiomatisering kan vara användbar (som du nämnde tidigare), är i frågan om vad ett "bevis" ens är för något. Utan en axiomatisk grund finns det inget sätt att veta vad som kan räknas som ett bevis eller inte. Så i denna bemärkelse är det väl väldigt viktigt att ha stabila axiom.

Jag hoppas att min fråga framgår!

Tillägg: 22 jul 2026 21:37

Ofta använder vi dock objekt där intuition inte kan ta oss så långt. Exempelvis vektorrum är närmast omöjliga att diskutera utan att ha någon djupare teori att luta sig på.

Men skulle det vara en godtagbar karaktärisering att ZF(C) formaliserar den abstrakta idén om att samla i mängder, och alltså på något sätt är lite av ett "metafysiskt" påstående: "om det är så här och så här det fungerar att samla, då följer..."? Alltså att det finns en verklighetsförankring i ZF(C) och att vi inte valde axiomen för att "de låter oss bevisa det vi vill"?

Varför räcker det inte med att stanna där och bara köra vidare?

Anledningen till att man började med axiom och matematisk logik och så vidare handlade om att man inte tyckte det höll längre att syssla med analys där man använde sig av infinitesimaler och andra icke-rigoröst definierade verktyg. Det utvecklades en oro över hur stabil den matematik man använde faktiskt var. Och när det kommer till att lösa fysikaliska problem i verkligheten är det ofta av yttersta vikt att saker och ting går till på rätt sätt.

Kan rekommendera att läsa mer om detta t.ex. här.

Är din teori då "mer korrekt" i någon verklighetsförankrad bemärkelse än min? Om vi ändå bara hittar på axiomen så att vi kan bevisa det vi vill ska vara sant, varför behöver vi dem ens? De förlänar oss ju liksom inget nytt.

Jag skulle säga att den kan ses som mer korrekt, men inte i någon formell logisk mening. Teorin $S$ är mer "korrekt" om dess axiom på ett trofastare sätt beskriver den avsedda fysiska eller logiska/matematiska struktur vi bryr oss om.

Exempelvis kan vi skriva ner en helt konsistent matematisk modell $K$ för fysik där gravitationskraften trycker massor bort från varandra istället för att attrahera dem. Men ett system $S$ med den mer vanliga Newton/Einstein-gravitationen är mer "korrekt" i bemärkelsen att den bättre beskriver den fysiska världen vi lever i.

I samma avseende skulle jag säga att $ZFC$ är mer lämplig än $P + \neg\operatorname{Con}(P)$ eftersom den bättre bevarar vår intuition och konkreta upplevelse av de naturliga talen, även om båda är helt logiskt/syntaktiskt korrekta.

Som du redan är inne på så finns det några fördelar med axiomatiseringar. 

- Som du redan nämnt så kan axiom fungera som ett slags matematiskt "kontrakt" mellan matematiker. Om vi två är inne i en het vektorrumsdebatt så behöver vi inte vara oense om vad ett vektorrum faktiskt är. Eller vad en mängd eller ett naturligt tal är. Om man ser det ur en programmeringssynvinkel kanske man kan säga att vi använder oss av samma matematik-API (t.ex. $P$ eller $ZF$ eller $ZFC$).

- En annan fördel kan vara att man trasslar upp och reder ut vad för egenskaper och strukturer som beror av vad. Exempelvis genom att man isolerade Euklides parallellpostulat insåg man så småningom att Euklidisk geometri inte var den enda möjliga geometrin, och att det finns andra typer av geometrier (vilket bl. a. Einstein använde för att formulera sin generella relativitetsteori). Urvalsaxiomet är ett annat exempel.

Men skulle det vara en godtagbar karaktärisering att ZF(C) formaliserar den abstrakta idén om att samla i mängder, och alltså på något sätt är lite av ett "metafysiskt" påstående: "om det är så här och så här det fungerar att samla, då följer..."? Alltså att det finns en verklighetsförankring i ZF(C) och att vi inte valde axiomen för att "de låter oss bevisa det vi vill"?

Ja, absolut! Jag tror dock det är lite båda delar dock. Alltså en del metafysisk verklighetsförankring, men även en del pragmatisk matte-ingenjörskonst. Till exempel skulle jag säga att urvalsaxiomet är mer av det senare slaget. Däremot känns inte axiomet som säger att "två mängder är identiska om de innehåller samma element" som ett bevisföringsknep, utan mer att man definierar och formaliserar vad "en samling saker" är. 

Dock är det inte en vanlig fysisk förankring, då fysisk materia inte alls beter sig som mängder i $ZFC$. Till exempel leder urvalsaxiomet till Banach-Tarski-paradoxen. Men det finns som du säger en metafysisk förankring i vår kognition om vår mänskliga förmåga till att abstrahera. Vi kan ta en samling olika föremål eller koncept och behandla dem som en singulär enhet för att sedan bygga vidare med ytterligare abstraktioner.

Tack igen för ditt uttömmande svar!

Efter att ha funderat hela dagen på denna och relaterade frågor har jag kommit fram till att min egentliga fråga nog snarare handlar om vad matematiska objekt är, medan mängdteorin enbart kan säga oss att strukturen som objekten lever i är "logiskt möjlig" relativt teorin. Men så länge vi tror på att teorin är metafysiskt "sann" i någon bemärkelse måste den logiska möjlighet vi bevisar vara absolut.

Mängdteorin kan kanske ge oss svar på hur matematiska objekt "fungerar", men den kan inte besvara frågan vad matematiska objekt är. Att konstruera ett objekt med mängder ger såvitt jag kan se inget bra svar på den senare frågan. Två personer med $\text{ZF(C)}$ kan ju egentligen skapa varsin modell av t.ex. $\mathbb{N}$, isomorfa med avseende på den relevanta strukturen men ändå distinkta med avseende på den explicita konstruktionen: i den ena skulle det exemeplvis kunna gälla att $3\in 5$, medan detta skulle kunna vara falskt i den andra. Trots detta kan båda vara fullt giltiga modeller av $\mathbb{N}$, så den explicita konstruktionen kan inte spela någon roll i frågan om vad "$3$" eller "$5$" är.

Har du några tankar om detta? Skulle du säga att det jag har beskrivit här låter som en rimlig karaktärisering av mängdteorins möjligheter och begränsningar, om vilka frågor den kan besvara och vilka den inte kan besvara?

Du har rätt i att vi inte kan svara på frågan "vad är egentligen talet 3" på det sätt jag tror du menar. Men jag håller inte med om att mängdkonstruktionerna skulle verka på lika fot.

Ditt resonemang är i princip identiskt med det exempel Paul Benaceraffs lägger fram i den filosofiska artikeln  "What Numbers Could Not Be" (1965)  (hittar tyvärr ingen renare pdf i hastigheten)

I hans exempel konstruerar vi de "naturliga talen" genom dels Zermelo, dels von Neumann. Och på 60-talet var det en stor sak att de två modellerna var isomorfa som modeller av PA. 

Men då inställer sig genast den naturliga (pun intended) frågan, vad är en giltig modell av $\mathbb{N}$?

Isomorfi bevarar den struktur som en teori explicit specificerar. Men inom matematiken kan vi ibland upptäcka att vissa representationer bär med sig ytterligare struktur som inte fanns med som tanke eller syfte i den ursprungliga axiomatiseringen. En sådan representation kan därför vara privilegierad även om den inte är unik. 

Finns det då alltså en kanonisk struktur som gör vissa representationer av talen mer fundamental än andra?

Jag skulle vilja säga att en modell av de naturliga talen som på ett naturligt (kanoniskt) sätt bevarar ordinalstrukturen är mer jämlik än någon annan tänkbar modell. Orsaken är att vi i ett sådant system enkelt kan förklara och bevisa egenskaper hos de naturliga talen man inte kan uttala sig om annars.

Ett tydligt och relativt konkret exempel är Goodstein-serier som vi faktiskt kan studera experimentellt nuförtiden.

Det finns alltså en asymmetri mellan de två representationerna Paul Benaceraff använder. Hos von Neumann är ordinalstrukturen inbyggd i objekten. Hos Zermelo måste ordinalstrukturen importeras och med våld klistras på och kletas fast om man ska kunna säga något om Goodstein. Och i alla de fall jag sett handlar det om att i smyg och skymundan återskapa ordinalstrukturen på ett mer eller mindre obscent vis. Vilket leder oss till tron att ordinalstrukturen är den fundamentala sanningen och ljuset.

Vill man vara kategorisk (I'm on a roll today) skulle man kunna säga  att von Neumanns $\omega$ är privilegierad just för att de ändliga ordinalerna _är_ den kanoniska början på ordinalhierarkin.

Frågan om vad "talet $3$" är har kanske inte ens ett bra svar. Vad är en springare i schack, bortom dess relation till de andra pjäserna? Det är inte ens en välställd fråga. På samma strukturalistiska sätt kanske man får nöja sig med att $3$ definieras utömmande genom dess relation till andra objekt. Men detta förbjuder inte att Julius Caesar skulle kunna vara "$3$" i någon kontext. Det gillar jag inte alls. Jag skulle helst vilja tro att "$3$" är något abstrakt objekt som vi, i vissa sammanhang, kan mappa på observerade strukturer.

Skulle du kunna ge ett konkret exempel (om det går) på vad du menar när du säger att von Neumanns konstruktion kanoniskt bevarar ordinalstrukturen, medan Zermelos konstruktion inte gör det? Jag är inte säker på att jag hänger med. Finns det enligt dig något "mer naturligt" i att tänka att

$\displaystyle 2 := \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}$

snarare än

$\displaystyle 2 := \{\{ \emptyset \}\}$

?

Tillägg: 24 jul 2026 15:28

För övrigt, tack för referensen till Benacerrafs artikel! Den var väldigt intressant.

Jag vet inte om du läste igenom Goodstein-exemplet (https://risingentropy.com/2020/06/06/the-mindblowing-goodstein-sequences/), men det är alltså en utsaga om de naturliga talen som bevisas trivialt om man identifierar de naturliga talen med de ändliga ordinalerna, dvs. med de transitiva mängder som är välordnade av $\in$. Den är däremot inte bevisbar i Peanoaritmetik.

I Zermelos konstruktion är varje tal bara en singleton av det föregående. Dessa mängder är inte transitiva och $\in$ återger inte ordningen. Ordinalstrukturen är därför inte intern i modellen utan måste tillföras utifrån på ett icke-naturligt vis.

Just ordinalstrukturen visar sig därmed ha konkret matematiskt innehåll. Goodsteins sats är ett exempel där den transfinita ordinalhierarkin ger ett bevis av en rent aritmetisk utsaga som inte kan erhållas inom PA.

Om vi filosofiskt skruvar till det lite kanske det är så att det är ordinalerna som är verkligheten, medan de naturliga talen bara är skuggorna de kastar på grottväggen? 

Detta inlägg är en separat tanke som har att göra med huruvida axiomen borde ha en verklighetsförankring eller inte. 

Så som jag förstår fysikaliska teorier nu är att observerade, empiriska strukturer har en slags motsvarighet i någon matematisk struktur. Således kan vi tillskriva objekt numerisk massa, eller tala om numerisk längd. Dessa exempel är mycket enkla, men denna slags identifikation gäller även mer komplexa teorier som klassisk termodynamik eller fluiddynamik. För att vi ska kunna matematisera fenomen och bilda en teori måste vi alltså ha tillgång en matematisk struktur som vi kan mappa på observationer.

Ponera nu att vi hade valt axiom som vore "fel". Speciellt kan vi anta att de skulle duga för att bevisa konsistens och påståenden om t.ex. de reella talen eller vektorrum, men ändå vore "fel" i bemärkelsen att de inte återspeglar någon underliggande sanning. Då kan man tänka sig att man någonstans stöter på ett fysikaliskt fenomen där den matematik som skulle krävas för att bilda en teori vore inkonsistent relativt axiomen -- de matematiska strukturer som skulle vara nödvändiga skulle vara otillgängliga och vi skulle därför utelåsas från en hel del av naturvetenskapen. Det värsta är att vi kanske inte ens skulle kunna avgöra att detta beror på axiomen, eftersom de objekt vi skulle behöva skulle ligga så långt bortom intuitionen.

För att göra det hela mer konkret: tänk om vektorrum inte hade gått att konstruera matematiskt för att vi hade valt dåliga axiom istället för ZF(C). Då hade vi låsts ute från att beskriva en enorm mängd fysikaliska fenomen eftersom vi inte hade haft någon matematik att "mappa" på observerade strukturer. Än värre hade vi kanske inte ens förstått att detta är ett problem, eftersom identifikationen av strukturerna kanske kräver att man har båda "framför sig" (i figurativ mening). Hur ska man inse att det man behöver är vektorrum om man inte vet vad ett vektorrum är? Självklart kan man kanske inse att man behöver bygga om matematiken för att kunna beskriva detta fenomen, men vektorrum är ändå ett exempel på en matematisk struktur som har ganska låg abstraktionsnivå och används för enkla fenomen. Man kan föreställa sig samma scenario fast med ett fysikaliskt fenomen som skulle kräva matematik med extrem abstraktionsnivå.

Ovanstående kanske är en bra motivering till att man ska välja axiom som är så "korrekta" som möjligt. 

Detta är bara en tanke jag fick på min promenad förut men jag tyckte att den var intressant och relevant så därför delar jag med mig av den här.

bump