Varför blir det fel när man försöker gå baklänges?

Jag sitter med ett litet problem här. Låt säga att man har en funktion som definieras enligt följande:

$\displaystyle f(x)=\sin^2x$. Detta medför att: $\displaystyle \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x}\sin^2x=2\cos x\sin x$

Inga konstigheter hittills. Som vi kunde se här hade vi ingen konstantterm heller. Men när man försöker beräkna den obestämda integralen blir det jättekonstigt. Man tänker ju att:

$\displaystyle \int_{}^{}2\cos x\sin x\mathrm{d}x=\sin^{2}x+C$

Men tydligen är det inte så. Wolframalpha ger ett annat resultat när man slår den integralen:

$\displaystyle \int_{}^{}2\cos x\sin x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\cos2x$.

Man kan ju skriva om detta i termer av sinus såklart och då får man:

$\displaystyle \sin^2x+(C-\frac{1}{2})$

Jag fattar inte vad som hände här. Vi gick från en funktion $\displaystyle \sin^2x$ till dess derivata men när vi utförde "inversoperationen" fick vi något annat??