5 svar
68 visningar
lamayo är nöjd med hjälpen!
lamayo 2113
Postad: 9 dec 2018

varför bryta ut den dominerande termen?

Varför bryter man ut just den dominerande termen i täljare och nämnare när man tar fram gränsvärdet för att inte få ?

Går det inte lika bra att bryta ut t.ex x istället för x^(2) när x går mot oändligheten?

Tacksam för hjälp!

SeriousCephalopod 1832
Postad: 9 dec 2018 Redigerad: 9 dec 2018

Jao, har du testat att ta en annan term och hur gick det? Det är ju bra att experimentera och testa vad som händer om man inte följer en algoritm för att få bättre förståelse men ofta är själva förklaringen inte så mycket mer än att det inte går på det andra viset. 

AlvinB 3310
Postad: 9 dec 2018

Säg att vi har gränsvärdet:

limxx2+13x2-x\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{3x^2-x}

Om vi bryter ut x2x^2 ramlar gränsvärdet ut ganska enkelt:

limxx2(1+1x2)x2(3-1x)=limx1+1x23-1x=13\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(3-\frac{1}{x})}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{3}

Bryter vi däremot ut xx får vi:

limxx(x+1x)x(3x-1)=limxx+1x3x-1==?\lim_{x\to\infty}\dfrac{x(x+\frac{1}{x})}{x(3x-1)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\frac{1}{x}}{3x-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=?

Om vi inte bryter ut den dominerande termen hamnar vi bara återigen i \frac{\infty}{\infty}. Vi måste alltså bryta ut den dominerande termen för att komma någon vart.

lamayo 2113
Postad: 9 dec 2018
AlvinB skrev:

Säg att vi har gränsvärdet:

limxx2+13x2-x\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{3x^2-x}

Om vi bryter ut x2x^2 ramlar gränsvärdet ut ganska enkelt:

limxx2(1+1x2)x2(3-1x)=limx1+1x23-1x=13\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(3-\frac{1}{x})}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{3}

Bryter vi däremot ut xx får vi:

limxx(x+1x)x(3x-1)=limxx+1x3x-1==?\lim_{x\to\infty}\dfrac{x(x+\frac{1}{x})}{x(3x-1)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\frac{1}{x}}{3x-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=?

Om vi inte bryter ut den dominerande termen hamnar vi bara återigen i \frac{\infty}{\infty}. Vi måste alltså bryta ut den dominerande termen för att komma någon vart.

 Men hur vet man att detta alltid gäller? Finns det något bevis?

AlvinB 3310
Postad: 9 dec 2018

Om du inte bryter ut den dominerande termen kommer den dominerande termen att dra iväg mot oändligheten och så hamnar du i \frac{\infty}{\infty}. Genom att bryta ut den dominerande termen kommer ju alla termer i nämnare och täljare att gå mot ett ändligt tal, och då kan du utläsa gränsvärdet.

lamayo 2113
Postad: 10 dec 2018
AlvinB skrev:

Om du inte bryter ut den dominerande termen kommer den dominerande termen att dra iväg mot oändligheten och så hamnar du i \frac{\infty}{\infty}. Genom att bryta ut den dominerande termen kommer ju alla termer i nämnare och täljare att gå mot ett ändligt tal, och då kan du utläsa gränsvärdet.

 Okej! Tack!

Svara Avbryt
Close