Varför definierar man inte integralen direkt genom FTC?

Hej!

Detta är en ny tråd i min trådserie om varför "man inte bara gör så här i matematiken". Specifikt vill jag diskutera integralbegreppet i den här tråden.

Som de flesta förhoppningsvis vet finns det huvudsakligen två ekvivalenta sätt att definiera den "elementära" integralen, antingen enligt Riemanns definition som gränsvärden av summor eller enligt Darbouxs definition som suprema och infima av under- och översummor. Dessa definitioner är konceptuellt något komplicerade och under min löprunda idag kom jag att fundera på varför man inte bara kan definiera integralen genom integralkalkylens fundamentalsats:

$\displaystyle \int_{a}^{b}f=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Vad skulle de stora problemen vara med att försöka göra det så, bortsett från att man inte får någon geometrisk tolkning av objektet? Några frågor som kan vara av intresse under diskussionen:

Finns det exempelvis integrerbara funktioner som saknar primitiv funktion, så att integralen då inte skulle existera för funktioner vi intuitivt vill kunna integrera, eller får man kanske ett för brett integralbegrepp istället?
Blir det svårare att bevisa egenskaper om integralen som med en mer omfattande definition är enklare att visa?
Blir definitionen kanske svårare att generalisera till högre dimensioner?
Blir det svårare att bevisa kopplingen mellan integraler av "högre ordning", alltså exempelvis visa att dubbelintegraler kan beräknas med nästlade enkelintegraler?

Jag hade aldrig riktigt tänkt på detta tidigare utan bara tackat och tagit emot när jag läst integrationsteori, så jag vill gärna höra alla tankar ni har!

Spontana problemet är väl att FTC kräver att $F$ är kontinuerlig.

Sedan tänkte jag lite på funktioner som denna:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1,\;x=1/n\\0,\;\text{annars}\end{array}\right.$

( $n$ positivt heltal).

Med en standard definition har vi att $\displaystyle \int_0^1 f\left( x\right)dx = 0.$ Man kanske kan visa detta med FTC-definitionen med gränsvärden av en följd funktioner som konvergerar mot $f$ . Dock kommer ju problemet med att byta ordning mellan integralen och gränsvärdet. Kan vi formulera en sats om när det är tillåtet med denna definition? (Jag har däremot inget förslag på en likformigt konvergent följd till $f$ , om det ens existerar, vilket jag spontant säger att det inte gör)

Det mesta av problemen med Riemannintegralen hanterades runt skiftet 1800-1900 av matematiker som Lebesgue, Borel, Riess m fl. Lebesgueintegralen har inga svårigheter med funktionen i föregående inlägg. f^-1({1}) är uppräknelig och har därför måttet 0 och f^-1({0}) är komplementet till denna m a p R. Då varje kompakt intervall har begränsat mått ger en gränsprocess med växande kompakta intervall att integralen över hela R är lika med 0.

AlexMu skrev:
Spontana problemet är väl att FTC kräver att $F$ är kontinuerlig.

Sedan tänkte jag lite på funktioner som denna:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1,\;x=1/n\\0,\;\text{annars}\end{array}\right.$

( $n$ positivt heltal).

Med en standard definition har vi att $\displaystyle \int_0^1 f\left( x\right)dx = 0.$ Man kanske kan visa detta med FTC-definitionen med gränsvärden av en följd funktioner som konvergerar mot $f$ . Dock kommer ju problemet med att byta ordning mellan integralen och gränsvärdet. Kan vi formulera en sats om när det är tillåtet med denna definition? (Jag har däremot inget förslag på en likformigt konvergent följd till $f$ , om det ens existerar, vilket jag spontant säger att det inte gör)

Det är en mycket bra invändning! Om jag inte tänker fel så borde funktionen du föreslår vara Riemannintegrerbar men inte inte integrerbar enligt den föreslagna definitionen (eftersom $f$ är diskontinuerlig överallt).

I den utmärkta (om än något teoritunga) bokserien Matematisk Analys med Tillämpningar (av Eriksson, Larsson, Wahde) använder man just din definition (med tillägget att $f$ ska vara kontinuerlig på intervall $I$ där $a,b\in I$ ).

De visar senare att detta är ekvivalent med Riemannsumman ( $c_k$ i varje delintervall):

$\displaystyle R_n=\sum_{k=1}^{n}f\left(c_k\right)\frac{b-a}{n}=\int_a^bf\left(x\right)\,\mathrm{d}x$ , då $n\to \infty$ .

Jag tror definition, bevis och diskussion finns i volym 2.

Integral som definieras via differens av primitivens funktionsvärden i intervallets ändpunkter kallas ibland för Newtonintegral. Analysens huvudsats säger då att Riemann- och Newtonintegralen är lika (under vissa förutsätningar).

Du kan gärna kolla i boken Theory of Integral av Brian S. Thomson för jämförelse av olika sätt att definiera bestämda integraler. Boken i pdf kan laddas ner från sin webbsida på https://classicalrealanalysis.info/com/Theory-of-the-Integral.php

Svara

Visa senaste svar