Kan man tillämpa den komplexa linjeintegralens fundamentalsats på 1/z?

Halloj!

I vår kurs i komplex analys har vi definierat den komplexa linjeintegralen enligt följande

$\displaystyle \int_\gamma f\left(z\right)dz:=\int_{a}^{b}f\left(z(t)\right)z^\prime\left(t\right)dt$

där $z=z(t)$ är en parametrisering av $\gamma$ som löper från $t=a$ till $t=b$ . Jag har läst att det finns en komplex version av infinitesimalkalkylens fundamentalsats för reella integraler, t.ex. här

Jag har en fundering om vad som måste krävas för att en komplex funktion ska ha en primitiv funktion. Exempelvis har funktionen $f$ som definieras av $z\mapsto 2z$ den primitiva funktionen man hade förväntat sig, nämligen $z\mapsto z^2$ . Kan man säga något liknande om funktionen $g$ som definieras av $z\mapsto 1/z$ ? Det vore rimligt att tänka att den har den komplexa logaritmen som primitiv funktion men hur ska man tänka kring grenar och dylikt? $z\mapsto 1/z$ är ju envärd medan den komplexa logaritmen är flervärd.

På din fundering vill jag säga att du måste völja en gren av logaritmen och bibehålla den under integrationen för att detta ska vara sant. Då tar n2pi:na ut varandra när vi tar f(z₁)-f(z₂).

För din första fråga, givet ett öppet område $A$ i det komplexa talplanet; så är följande ekvivalenta:

i) $A$ är enkelt sammanhängande.

ii) Varje holomorf funktion i $A$ har en holomorf primitiv i $A$ .

Detta ger åtminstone ett sätt att se vad som krävs.

Notera att $z \mapsto 1/z$ har en (holomorf) primitiv om vi ändrar definitionsmängden lämpligt, mer konkret ger inversa funktionssatsen för holomorfa funktioner att varje holomorf gren till inversen av exponential funktionen har derivatan $z\mapsto 1/z$ . Så speciellt för principalgrenen så är ju $\mathrm{Log}$ definierad på $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ (enkelt sammanhängande) med den önskade derivatan.

Svara