Varför kan alla polynom skrivas som en produkt av dess nollställen?

Jag har under en period försökt förstå varför ett godtyckligt polynom alltid kan skrivas som en produkt av dess "nollställesfaktorer" och en faktor a. Jag tror jag kanske har en del av en förklaring men jag skulle behöva lite ledning.

Antag att man har ett godtyckligt andragradspolynom $p (x)$ . Vi vet att denna funktion har två nollställen $(a | 0)$ och $(b | 0)$ .

Det vi vet är att funktionsvärdet kommer vara 0 för något av dessa x-värden. Av detta kan man säga att $q (x) = (x - a) (x - b)$ . Multiplicerar man ut paranteserna får man mycket riktigt ett andragradspolynom. Polynomet som beskrivs är dock inte specifikt, det finns ju trots allt många andragradsfunktioner som har dessa nollställen. Det krävs alltså mer information för att bestämma just $p (x)$ .

Om man med hjälp av ett tal k kan beskriva någonting mer om $p (x)$ är man färdig, och det visar sig att man kan det. Genom att multiplicera hela andragradspolynomet med en "konvexitet", $k$ , lyckas vi bestämma såväl "pekriktning" som konvexitet.

Man behöver inte bekymra sig med någon förskjutning på y-axeln (dvs var funktionen skär y-axeln) eftersom det endast finns ett polynom med en specifik kombination av konvexitet, pekriktning och nollställen. Vi kan alltså beskriva $p (x)$ med $k (x - a) (x - b)$ .

Logiken jag har använt ovan fungerar endast för andragradspolynom och därutöver vet jag inte ens om den stämmer. Hur ska man visa att det stämmer för alla polynom oavsett grad?

naytte skrev:
Jag har under en period försökt förstå varför ett godtyckligt polynom alltid kan skrivas som en produkt av dess "nollställesfaktorer" och en faktor a. Jag tror jag kanske har en del av en förklaring men jag skulle behöva lite ledning.

Antag att man har ett godtyckligt andragradspolynom $p (x)$ . Vi vet att denna funktion har två nollställen $(a | 0)$ och $(b | 0)$ .

Det vi vet är att funktionsvärdet kommer vara 0 för något av dessa x-värden. Av detta kan man säga att $q (x) = (x - a) (x - b)$ . Multiplicerar man ut paranteserna får man mycket riktigt ett andragradspolynom. Polynomet som beskrivs är dock inte specifikt, det finns ju trots allt många andragradsfunktioner som har dessa nollställen. Det krävs alltså mer information för att bestämma just $p (x)$ .

Om man med hjälp av ett tal k kan beskriva någonting mer om $p (x)$ är man färdig, och det visar sig att man kan det. Genom att multiplicera hela andragradspolynomet med en "konvexitet", $k$ , lyckas vi bestämma såväl "pekriktning" som konvexitet.

Man behöver inte bekymra sig med någon förskjutning på y-axeln (dvs var funktionen skär y-axeln) eftersom det endast finns ett polynom med en specifik kombination av konvexitet, pekriktning och nollställen. Vi kan alltså beskriva $p (x)$ med $k (x - a) (x - b)$ .

Logiken jag har använt ovan fungerar endast för andragradspolynom och därutöver vet jag inte ens om den stämmer. Hur ska man visa att det stämmer för alla polynom oavsett grad?

Ditt resonemang är helt vettigt, men det stämmer inte för riktigt alla andragradspolynom - hur är det t ex med y = x² + 4x + 10?

Jag tror det du är ute efter är att funktionen aldrig skär x-axeln. Men om min logik gällde för reella tal borde den väl gälla för komplexa också?

Jag tror just en allmän förklaring för alla polynom slog mig. Alla polynom går att faktorisera på något sätt. Antag att $p (x)$ är ett godtyckligt polynom. Vi vet också att $p (a) = 0$ . Det betyder att man alltid kan bryta ut en faktor $(x - a)$ ur polynomet, eftersom hela faktorn antar värdet 0 när $x = a$ , vilket medför att funktionsvärdet också blir 0. Detta kan man fortsätta göra tills allting bara består av faktorer.

Stämmer detta resonemang?

Sök på algebrans fundamentalsats. Vill du "bevisa" satsen eller bara förstå det logiskt?

Förstå det logiskt. Ett bevis känns lite overkill.

naytte skrev:
Jag tror just en allmän förklaring för alla polynom slog mig. Alla polynom går att faktorisera på något sätt. Antag att $p (x)$ är ett godtyckligt polynom. Vi vet också att $p (a) = 0$ . Det betyder att man alltid kan bryta ut en faktor $(x - a)$ ur polynomet, eftersom hela faktorn antar värdet 0 när $x = a$ , vilket medför att funktionsvärdet också blir 0. Detta kan man fortsätta göra tills allting bara består av faktorer.

Stämmer detta resonemang?

Om du räknar med komplexa rötter (som man numera inte lär sig förrän i Ma4) så stämmer det.

Om du har ett polynom p(x) och ett annat polynom q(x) (ej noll), så finns det polynom s(x) och r(x), där r(x) har lägre grad än q(x), sådana att

p(x) = s(x)q(x) + r(x). Övning: visa det.

Om nu p(x) har ett nollställe a så måste det gälla att, om vi sätter q(x) = x-a,

p(x) = s(x)(x-a) + r(x), men då r(x) skall ha lägre grad än 1 så måste r(x) = c (konstant polynom).

Vi har vidare att

0 = p(a) = s(a)(a-a) + c, vilket ger c = 0.

Således

p(x) = s(x)(x-a), så x-a är en faktor i p(x).

Svara

Visa senaste svar