Varför kan en integral motsvara en skalärprodukt?

HomogenMetallstav skrev:

Hej, 

Jag och en vän skriver ett gymnasiearbete där vi använder värmeledningsekvationen i en dimension för att bestämma värmespridningen i en metallstav. För att uppfylla begynnelsevillkoret används en Fourierserie på formen$\sum _{n=1}^{\infty } Bn \sin \left(\frac{\mathrm{n\pi }}{\mathrm{l}}x\right) = u(x,0)$. Där u är funktionen för värmefördelningen, l en konstant och B_n de konstanter vi ska lösa för. Källan vi har använt löser detta genom att utnyttja att integralen

${\int }_0^l\sin \left(\frac{\mathrm{n\pi }}{\mathrm{l}}\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{m\pi }{\mathrm{l}}\mathrm{x}\right)dx$

endast är nollskild för n=m. Jag är helt med på hur det fungerar algebraiskt, men stegen som tas för att lösa för B_n känns väldigt omotiverade. Då ordet "ortogonalitet" nämns och källan i förbifarten hävdar att "the integral from 0 to 1 in the equation above is analogous to the dotproduct in 2-space." undrar jag om det finns någon geometrisk motivation? Kan man på något sätt tänka sig de två sinusfunktionerna som vektorer? Kan man få definitionen av skalärprodukt med cosinus att ramla ut på något vis? Jag tänker att om det finns en visuell förklaring så skulle en figur kunna göra att läsaren inte helt tappar all intuition.

 

P.S Finns det något sätt att använda LaTeX-syntax på denna hemsida? Att klicka sig fram i mathtype kändes jätteklumpigt

Det är väl inte den bästa av TeX-tolkar, men här är kanske något intressant

https://www.pluggakuten.se/trad/guide-till-latex-pa-pa/

Jag tror PA använder den gamla (utdaterade) syntaxen med dubbla dollar-tecken.

Begreppet Skalärprodukt har en generalisering som kallas Inre Produkt. För två vektorer u och v betecknas den inreprodukten med (u,v) och den ska vara en skalär, ( i praktiken tillhöra R eller C). I definitionen ingår i det reella fallet att (, ) ska vara lineär i båda variablerna och att (x,x)>=0 med likhet endast om x=0. Det finns åtskilliga matematiska objekt som uppfyller detta. Bli därför inte förvånad när du ser funktioner agera som vektorer med integraler som inre produkt. Integraler är ju inget annat än linjära funktionaler på vektorrum bestående av funktioner. Om t ex f och g är reella funktioner och vi definierar (f,g)=integralen av f•g, så blir (f,f)=integralen av |f|² som alltid >=0 med likhet omm f=0  (n. ö.).

För en mer utförlig hantering än ovanstående alltför summariska, kan du slå upp begrepp som Inre produkt, L² , Euklidiska rum eller någon lärobok i funktionalanalys.