Varför medför olikheten slutenhet under addition?

En begränsad funktion på en mängd med ändligt mått är Lebesgue integrerbar om och endast om den är mätbar.

Hmm, okej. Vi har inte berört måtteori eller Lebesgueintegralen överhuvudtaget, så jag antar att jag bara får köpa det helt enkelt. Skumt att författarna förutsätter att läsaren vet det. Detta är bara den fjärde mattekursen vi har.

Aah nej, glöm det. Men betyder inte $f\in L^2(a,b)$ exakt att $\int_a^b |f|^2 dx < \infty$? Det är ju samma sak som att säga att $f^2$ är Lebesgue integrerbar.

Ser du från detta hur olikheten medför att $(f+g) ^2$ är integrerbar?

Det stämmer nog att det är det det innebär. I boken står det att $f^2$ är integrerbar, så jag antar att det gäller om och endast om integralen inte divergerar.

Och jag fattar nu, tror jag.

Om $f^2,g^2$ är integrerbara så är även $2f^2+2g^2$ det. Det följer då av olikheten att även $(f+g)^2$ konvergerar.

Yes, det borde stå vid när man definierar integralen (först för simpla funktioner, sedan ett supremum av simpla funktioner, sedan från icke negativa till generella mätbara funktioner).

Alltså att vi säger att $f$ är integrerbar om

$\int |f| d\mu < \infty$.

Författarna har inte ens nämnt begreppet integral tidigare 😭, och definitivt inte infört Lebesgueintegralen. Den enda integralen vi har stött på tidigare har varit Riemannintegralen.

Antar att de bara antar att man ska ha den förkunskapen.

Jag har faktiskt en bok om måtteori av Sheldon Axler. Jag har läst en bit i den tidigare men blev helt överväldigad av hur teknisk den var. Ibland kunde det ta dygn att ta sig igenom enstaka sidor.

Kanske är dags att ta sig an boken igen. Verkar som begreppet mått och namnet Lebesgue har börjat dyka upp rätt ofta på senaste (t.ex. även i sannolikhetsläran).

naytte skrev:

Författarna har inte ens nämnt begreppet integral tidigare 😭, och definitivt inte infört Lebesgueintegralen. Den enda integralen vi har stött på tidigare har varit Riemannintegralen.

Antar att de bara antar att man ska ha den förkunskapen.

Aha oj, jag har aldrig sett någon definition av $L^p$ för något annat än Lebesgue integraler. Låter som de antar att man känner till det sedan tidigare då, ja.

naytte skrev:

Jag har faktiskt en bok om måtteori av Sheldon Axler. Jag har läst en bit i den tidigare men blev helt överväldigad av hur teknisk den var. Ibland kunde det ta dygn att ta sig igenom enstaka sidor.

Kanske är dags att ta sig an boken igen. Verkar som begreppet mått och namnet Lebesgue har börjat dyka upp rätt ofta på senaste (t.ex. även i sannolikhetsläran).

Ja det är standarden för den "moderna" reella/komplexa analysen. En generalisering av Riemanns integralbegrepp.

Har du några förslag på bra böcker om måtteori för någon som inte är så matematiskt mogen ännu?

Boken jag har hemma är Measure, Integration & Real Analysis av Sheldon Axler. Problemet är att den är extremt trögläst för mig just nu. Han går in i varenda teknisk detalj som finns och det gör boken svårsmält.

Måtteori är lite knepigt och tekniskt i början, ja. Men själva grundidén är rätt simpel: vi vill att om måttet av något objekt A har värdet a och måttet av något objekt B har värdet b (exempelvis areor av geometriska figurer, längder av intervall, sannolikheter av händelser) så vill vi att om A och B inte överlappar, så är måttet av "A och B" lika med a + b.
Vi ställer också kravet att alla mått ska vara icke negativa.
Är måttet av hela den övergripande mängden 1, kallar vi måttet för ett sannolikhetsmått.

Man brukar också kräva att den additiva egenskapen ovan gäller även för ett uppräkneligt antal mängder, och inte bara ett ändligt antal. (Notera att om den additiva egenskapen gäller för två mängder gäller den för ett ändligt antal pga induktion.)

För det vanliga Lebesgue-måttet på $\mathbb{R}$ är måttet på intervall $[a, b]$ eller $(a, b)$ lika med $b-a$. Alltså längden av ett intervall. För $\mathbb{R} ^2$ och $\mathbb{R} ^3$ sammanfaller måttet med våra vanliga area- och volymbegrepp, och generellt så är Lebesguemåttet den "n-dimensionella volymen".
Fördelen med måtteori är det generaliserar saker som sannolikheter och volymer till en och samma teori.

Tillägg: 2 apr 2025 17:46

Har inget sådär på rak arm, får återkomma angående litteratur.

Kanske Terence Taos introduction to measure theory kan vara ett bra komplement till Axler?

Du kan tänka på $L^2$ som rummet för alla funktioner som har en "ändlig" area mellan x-axeln och $|f|^2$

Inom linjär algebra brukar nästa steg vara att definiera en skalärprodukt som

$\displaystyle <f,g>=\int_a^bf\left(x\right)\bar{g}\left(x\right)\,dx$

Som sedan används i kursen för Fourieranalys, därav intresset för $L^2$.

En viktig sak att notera är att $\int |f|^2=0$ INTE innebär att $f$ är noll överallt, bara "nästan". Det innebär också att normen av skillnaden mellan två funktioner bara behöver vara  "nästan" lika för att funktionerna (eller följderna) ska anses vara samma funktion.  Orsaken är att vi kan tillåta oss funktioner som avviker punktvis så länge punktmängden har måttet noll.

Hur kan det inte vara sant att

$\displaystyle \int \left|f\right|^2 = 0 \implies f = 0$?

Handlar det om hur man har definierat Lebesgueintegralen? Jag vill minnas att om man tar Lebesgueintegralen "över" en punkt, så får man noll. Är det det som spökar här?

Japp! :)

Mer exakt kan man säga att en delmängd $E$ av $\mathbb{R}$ har måttet $0$ om man för varje $\varepsilon>0$ kan täcka över $E$ med en följd av öppna intervall vars totala längd är mindre än $\varepsilon$.

När vi säger "måttet", menar vi då Lebesguemåttet (lebesgue outer measure)?

Alltså med andra ord en funktion $\mu$ som för $A \subseteq \mathbb{R}$ definieras genom:

$\displaystyle \mu\left(A\right):=\inf\{ \sum_{k\in\mathbb{N}}\ell\left(I_k\right): \left(I_k\right)_{k\in\mathbb{N}} \;\text{är en följd öppna intervall sådan att}\; A\subset\bigcup_{k\in\mathbb{N}}I_k \}$