8 svar
75 visningar
naytte är nöjd med hjälpen
naytte Online 3492
Postad: 10 dec 2023 14:03

Varför saknar integralen från -1 till 1 värde?

Jag stötte på föjande integral imorse:

-111xdx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x

Jag tänkte med mitt enkla förstånd att denna integral helt enkelt borde vara lika med noll, eftersom grafen till 1x\displaystyle \frac{1}{x} är helt symmetrisk kring x=0x=0. Grafen ser ju trots allt ut så här:

Borde inte dessa områden vara exakt lika stora men med omvänt tecken?

Bubo 6858
Postad: 10 dec 2023 14:12

Hur stora är de då? :-)

1/0 blir lite problematiskt.

naturnatur1 2905
Postad: 10 dec 2023 14:15

Jag tror det är att x= 0 är en asymptot och därför kan man inte få en "ordentlig" area mellan 0-1 respektive 0-(-1). Den går mot oändligheten vid nollan. Men det kanske finns någon annan förklaring.

naytte Online 3492
Postad: 10 dec 2023 14:18
Bubo skrev:

Hur stora är de då? :-)

1/0 blir lite problematiskt.

Nej, det har du rätt i. Men om man bara skulle försöka beräkna integralen som vanligt får man ju något som "mejkar sense":

-111xdx=ln|1|-ln|-1|=ln1-ln1=0-0=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|1|-\ln|-1|=\ln1-\ln1=0-0=0

Vad är det som inte stämmer i beräkningen?

Bubo 6858
Postad: 10 dec 2023 15:28

Det finns ingen funktion att integrera vid x=0.

naytte Online 3492
Postad: 10 dec 2023 15:30

Ja oj, den är ju inte kontinuerlig runt x=0 såklart! Dumma mig!

Tack så mycket för hjälpen!

naytte Online 3492
Postad: 2 jan 01:06 Redigerad: 2 jan 01:07

Jag återupplivar denna tråd lite, för jag stötte på en artikel om just detta faktiskt och tänkte att det kunde vara intressant för framtida läsare:

Normalt sett skulle vi säga att en udda funktion som integeras mellan [-a,a]\displaystyle [-a, a], där a>0a>0 får värdet noll. Men detta gäller allmänt endast då funktionen är kontinuerlig, vilket vår funktion inte är. Men grafiskt skulle man ändå kunna argumentera för att värdet ska vara noll.

Men man skulle också kunna försöka beräkna integralen som en generaliserad integral och då blir det genast knepigt. Vi kan säga att:

-111xdx=lima0--1a1xdx+limb0+b11xdx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\lim_{a \to 0^{-}} \int_{-1}^{a}\frac{1}{x}\mathrm{d}x+\lim_{b \to 0^{+}} \int_{b}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x

För enkelhetens skull kommer jag fortsättningsvis skriva 0+ och 0- i ändpunkterna:

-10-1xdx+0+11xdx=[ln|x|]-10-+[ln|x|]0+1\displaystyle \int_{-1}^{0^{-}}\frac{1}{x}\mathrm{d}x+ \int_{0^{+}}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=[\ln|x|]_{-1}^{0^{-}}+[\ln|x|]_{0^{+}}^{1}

Som vi ser får vi en obestämbar form vi inte kan göra något med. Jag tycker trots detta ändå att den ursprungliga integralen borde vara lika med noll, eftersom det åtminstone verkar som aa och bb närmar sig 00 från höger respektive vänster exakt lika fort. Men det kanske inte är så.

Aja, bara en liten grej som kanske är intressant för någon.

Laguna Online 27759
Postad: 2 jan 07:04

Du kan läsa om generaliserade funktioner, t.ex. Diracs delta-funktion.

ItzErre 1571
Postad: 2 jan 10:18
naytte skrev:

Jag återupplivar denna tråd lite, för jag stötte på en artikel om just detta faktiskt och tänkte att det kunde vara intressant för framtida läsare:

Normalt sett skulle vi säga att en udda funktion som integeras mellan [-a,a]\displaystyle [-a, a], där a>0a>0 får värdet noll. Men detta gäller allmänt endast då funktionen är kontinuerlig, vilket vår funktion inte är. Men grafiskt skulle man ändå kunna argumentera för att värdet ska vara noll.

Men man skulle också kunna försöka beräkna integralen som en generaliserad integral och då blir det genast knepigt. Vi kan säga att:

-111xdx=lima0--1a1xdx+limb0+b11xdx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\lim_{a \to 0^{-}} \int_{-1}^{a}\frac{1}{x}\mathrm{d}x+\lim_{b \to 0^{+}} \int_{b}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x

För enkelhetens skull kommer jag fortsättningsvis skriva 0+ och 0- i ändpunkterna:

-10-1xdx+0+11xdx=[ln|x|]-10-+[ln|x|]0+1\displaystyle \int_{-1}^{0^{-}}\frac{1}{x}\mathrm{d}x+ \int_{0^{+}}^{1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=[\ln|x|]_{-1}^{0^{-}}+[\ln|x|]_{0^{+}}^{1}

Som vi ser får vi en obestämbar form vi inte kan göra något med. Jag tycker trots detta ändå att den ursprungliga integralen borde vara lika med noll, eftersom det åtminstone verkar som aa och bb närmar sig 00 från höger respektive vänster exakt lika fort. Men det kanske inte är så.

Aja, bara en liten grej som kanske är intressant för någon.

Finns vissa definitioner av vad man menar med gränsvärden där denna typen av argument accepteras. Där kan man tex acceptera att 

 

-x dx = 0 

 

Ett sak som är lite konstigt här blir väl att vi inte riktigt har definierat hur snabbt de båda gränsvärdena går mot noll, det finns inget i det du skriver som säger att a och b går lika snabbt mot 0 och det framgår inte av delta-epsilon definitionen av gränsvärden. 

Svara Avbryt
Close