15 svar
49 visningar
naturnatur1 är nöjd med hjälpen
naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 21:54

variabelbyte

Om jag exempelvis har denna integral:

0412x+1dx

och vill lösa den med variabelbyte, kan jag då sätta att 

t = 2x+1

och skriva den som

041tdt?

(med gränserna 9 och 1 isåfall)


Får felaktigt svar när jag gör så, vart blir det fel?

naytte 3492
Postad: 31 jan 21:56 Redigerad: 31 jan 21:57

Det som blir lite fel är att du inte har tagit fram ett uttryck för dx\displaystyle \mathrm{d}x.

Om t=2x+1t=2x+1 kommer dx=12dt\displaystyle \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t.

Och den nedre gränsen borde väl vara 1?

naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 21:58

Hur löser jag denna annars med variabelbyte?

Ja, 9 och 1.

naytte 3492
Postad: 31 jan 22:01

Exakt som du har gjort nu, men då måste byta ut dx\mathrm{d}x också!

0412x+1dx=12191tdt=12(ln9-ln1)=12ln9\displaystyle \int_{0}^{4}\frac{1}{2x+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{1}^{9}\frac{1}{t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}(\ln9-\ln1)=\frac{1}{2}\ln9

naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 22:06

Ah okej, vad menar du med att byta ut dx? Varför blir det 1/2?

Förstår dock att vi har x involverat (2x+1).. Men har du lust att förklara mer hur det fungerar?

naytte 3492
Postad: 31 jan 22:08 Redigerad: 31 jan 22:11

Ja, alltså du hade bara bytt ut 2x+12x+1 mot tt och inte gjort något med differentialen. Så som du har räknat har du gjort om integralen till:

x=0x=412x+1dx=t=1t=91tdx\displaystyle \int_{x=0}^{x=4}\frac{1}{2x+1}\mathrm{d}x=\int_{t=1}^{t=9}\frac{1}{t}\mathrm{d}x

Men ser du att vår variabel i integranden är tt medan vår differential har ett xx i sig? Vi vill ju att det ska stå något med dt\mathrm{d}t där istället. Och sambandet mellan dt\mathrm{d}t och dx\mathrm{d}x är som jag skrev i inlägg #2. Byt ut dx\mathrm{d}x mot det det är lika med uttryckt i tt och se vad som händer. Det är därifrån faktorn 1/2 kommer!

naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 22:14

Ah okej, tror jag fattar. Men vad menar du med "differentialen"?  Vi har inte läst om differentialekvationer än, eller det kanske inte har något med det och göra?

naytte 3492
Postad: 31 jan 22:14

dx\mathrm{d}x är en differential. dt\mathrm{d}t också. Det har inget med diffekvationer att göra.

naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 22:16

Ah okej om jag förstår dig rätt så är det att man vill "ha x ensamt"? typ


Tillägg: 31 jan 2024 22:19

Eller rättare sagt att man måste ha hänsyn till dx också

naytte 3492
Postad: 31 jan 22:20

Nej, nu förstår jag inte vad du menar. Vi vill skriva om integralen i termer av tt. Då måste vi dels:

  • Skriva om integreringsgränserna i termer av tt
  • Skriva om integranden i termer av tt
  • Skriva om differentialen så vi får ett dt\mathrm{d}t i slutet istället för ett dt\mathrm{d}t
naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 22:22
naytte skrev:

Nej, nu förstår jag inte vad du menar. Vi vill skriva om integralen i termer av tt. Då måste vi dels:

  • Skriva om integreringsgränserna i termer av tt
  • Skriva om integranden i termer av tt

Detta är jag med på.

  • Skriva om differentialen så vi får ett dt\mathrm{d}t i slutet istället för ett dt\mathrm{d}t

Ja istället för dx, basic fråga men hur går man tillväga för att göra det? 

naytte 3492
Postad: 31 jan 22:24

 t=2x+1dtdx=2dx=12dt\displaystyle t=2x+1\implies \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=2\implies \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t

naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 22:28

Hur är dt/dx = 2?

naytte 3492
Postad: 31 jan 22:30 Redigerad: 31 jan 22:30

Derivatan av t med avseende på x. Samma sak som derivatan av 2x+1 med avseende på x. Det är väl inte konstigt?  

naturnatur1 2905
Postad: 31 jan 22:31

Aha. My bad. Tack

naytte 3492
Postad: 31 jan 22:33 Redigerad: 31 jan 22:34

Ingen orsak! 

Notera dock att när vi gör detta så betraktar vi differentialerna heuristiskt. Det är inte helt trivialt att man kan göra det (skriver GA på detta t.o.m.). Du kan läsa om härledningen till variabelsubstitution här: https://sv.wikipedia.org/wiki/Integration_genom_substitution

Svara Avbryt
Close