14 svar

122 visningar

naytte behöver inte mer hjälp

Varifrån får Wolfram 8pi - rotationsvolymer

Halloj!

Jag sitter med följande fråga:

Bestäm volymen av figuren som genereras då $y=x^2+3$ roteras runt $y$ -axeln från $x=0$ till $x=\sqrt 2$ . Jag tänker att svaret ska bli:

$\displaystyle V=2\pi\int_{0}^{\sqrt2}\left(2-x^2\right)x\mathrm{d}x=2\pi$

Wolfram Alpha påstår dock att:

$\displaystyle V=2\pi\int_{0}^{\sqrt2}\left(3+x^2\right)x\mathrm{d}x=8\pi$

Jag förstår inte varför de räknar med $3+x^2$ här och inte $2-x^2$ . Jag försökte beräkna volymen genom att dela upp grafen i rektanglar med infinitesimal bredd $\mathrm{d}x$ och sedan rotera dessa. Höjden på en sådan rektangel borde väl ändå vara $2-x^2$ ... (alltså $5-y(x)$ )?

Höjden på rektangeln är $y(x)$ , radien är $x$ och bredden $dx$ , kallas normalt skalmetoden.

Om du ritar förstår du nog snart hur du tänkt fel.

Här är min skiss:

Är min skiss fel då? Jag fattar fortfarande inte hur höjden kan vara $y(x)$ . Om man räknar med höjden $y(x)$ så räknar man väl ut volymen som alstras om man roterar området under grafen?

Japp, varför skulle det vara ovanför?

Jag tolkade frågan fel då. Jag tolkade det som att det som efterfrågades var volymen i den "runda konen" som bildas.

På grund av hur integral definieras så är det kanske underförstått att man by default menar "mellan kurvan och x-axeln" som begränsning i y-led. Men bevisligen så är det en dålig sak att anta som underförstått.

Okej, då är jag med. Det är åtminstone en lättnad att jag inte hade förlorat förmågan att tänka, utan det var ett missförstånd helt enkelt.

Tack så mycket!

Frågan är felformulerad och/eller ofullständig.

Den "figur" som bildas vid rotation enligt uppgiftslydelsen är en paraboloid.

Den saknar tjocklek och volymen är därför 0.

====

Även om det vore underförstått att x-axeln skulle utgöra en begränsning neråt så saknas begränsning i radiell led, vilket gör det troligare att kroppen istället skulle begränsas uppåt av y = 5, precis som du antog först.

====

Kan du ladda upp en bild av själva frågan?

Yngve skrev:
Även om det vore underförstått att x-axeln skulle utgöra en begränsning neråt så saknas begränsning i radiell led,

Radiellt led för skalmetoden är i x-led, hur menar du att denna är obegränsad?

SaintVenant skrev:

Radiellt led för skalmetoden är i x-led, hur menar du att denna är obegränsad?

Jag menar att om dessa grafer roteras ett varv runt y-axeln så bildas inte en sluten kropp med begränsad volym:

Men det gör det om dessa grafer roteras:

Jo, det gör dem väl. Du glömmer att rita ut x=sqrt(2).

MrPotatohead skrev:
Jo, det gör dem väl. Du glömmer att rita ut x=sqrt(2).

Jag tolkar $x=\sqrt{2}$ som en x-koordinat, inte som en linje.

Om avsikten vore att det skulle vara en begränsningslinje så borde de ha skrivit "... då området som begränsas av x-axeln, linjen $x=\sqrt{2}$ och grafen till $y=x^2+3$ roteras ...".

Oavsett vilket så är uppgiften felformulerad och/eller ofullständig.

Du har helt rätt om den är ordagrant citerad. Jag antog att den var parafraserad.

Integralen för $y = x^2 +3$ mellan $x=0$ och $x = \sqrt{2}$ är lika med arean under kurvan. Förlängningen till en rotationsvolym enligt skalmetoden känns typiskt som:

Arean under kurvan $y(x)=x^2+3$ , begränsad av $x=0$ och $x=\sqrt{2}$ , roteras ett helt varv runt y-axeln för att bilda en volym.

Spännande tycker jag hur frågans formulering (Nayttes eventuella parafrasering) kan leda fram till så många olika tolkningar. Talar starkt för hur viktigt det är att vara precis inom matematik :)

God helg!

Jag är fortfarande nyfiken på hur frågan ställdes till WolframAlpha.

Jag ställde frågan till Wolfram exakt på följande sätt:

"rotate y=x^2+3, 0<x<sqrt2 about the y-axis":

Den skapar ju rätt paraboloid i grafen så det var därför jag blev så himla förvirrad, för utefter den bilden verkade det ju som om den förstod vad som efterfrågades. Dessutom är det som SaintVenant misstänkte, frågan jag ställde här är en parafrasering.

Svara

Visa senaste svar