Värstahjärnsläppintegrering

Jag har suttit ett tag (euphémisme) med integralen av f(x)=$sin(8\sqrt x)$

Så efter en elegant variabelbyte och förhoppningsvis korrekt (den här gången):

$\left[8\sqrt{x}=t \iff \frac{4}{\sqrt{x}}dx=dt \iff \frac{4}{\left({\displaystyle \frac{t}{8}}\right)}dx=dt \iff dx=\frac{dt t }{32}\right]$

$\int \sin \left(8\sqrt{x}\right) dx = \frac{1}{32}\int \sin \left(t\right) t dt$

Därifrån börjar vi en elegant men misslyckat partiel integration med första roller $f\left(t\right)=\sin \left(t\right), g\left(t\right)=t$.

$F\left(t\right)g\left(t\right) - \int F\left(t\right)g\text{'}\left(t\right)$

$$\begin{gathered} \frac{1}{32}\left[\frac{-t {\cos }^{2}t}{2} - \int \frac{-{\cos }^{2}t}{2}1 dt\right] \\ \frac{1}{32}\left[\frac{-t {\cos }^{2}t}{2} + \int \frac{{\cos }^{2}t}{2} \right] \end{gathered}$$

Där gör vi en till elegant men osäker ersättning med formel för halva vinkel:

$$\begin{gathered} \frac{1}{32} \left[\frac{-t {\cos }^{2}t}{2} + \int \frac{1+\cos 2t}{4} dt\right] \\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 32}} \left[\frac{{\displaystyle -t {\cos }^{2}t}}{{\displaystyle 2}} + \frac{{\displaystyle 1}}{4} t + \frac{{\displaystyle {\sin }^2\left(2t\right)}}{8} \right] \end{gathered}$$

Till sist får jag den långa men inkorrekta uttryck:

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 32}} \left[\frac{{\displaystyle -8\sqrt{x} {\cos }^2\left(8\sqrt{x}\right)}}{{\displaystyle 2}} + \frac{{\displaystyle 1}}{4} 8\sqrt{x} + \frac{{\displaystyle {\sin }^2\left(16\sqrt{x}\right)}}{8} \right] \\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 32}} \left[-4\sqrt{x} {\cos }^2\left(8\sqrt{x}\right) + \frac{{\displaystyle 1}}{4} 8\sqrt{x} + \frac{{\displaystyle {\sin }^2\left(16\sqrt{x}\right)}}{8} \right] \end{gathered}$$

Jag har undersökt mina slarv med min habituell framgång (= hittar inte)