Verifiering av bevis

Hej, kan någon kontrollera mitt bevis till ovanstående uppgift?

Eftersom vi har en ekvivalens gäller att vi måste visa båda implikationer. Vi börjar med det första:

$\Rightarrow :$Vi antar att ekvationen har en icke trivial lösning, det vill säga att $\exists {\lambda }_j\ne 0 | j\in [1,n]$.

Den givna ekvationen är ekvivalent med:

$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\mathit{v}}_{\mathbf{i}}=\mathbf{0}$

Eftersom att ${\lambda }_j$är nollskild ger division av ${\lambda }_j$:

$\iff -\frac{1}{{\mathrm{\lambda }}_j}\left(\sum _{\mathrm{i}=1,\mathrm{i}\ne \mathrm{j}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{i}}{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}\mathbf{\right)}={\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}$

Ovanstående ekvation beskriver att vektorn v_j är en linjärkombination av resterande vektorer. Vilket var det som skulle bevisas i den givna implikationen.

Nu bevisas den motsatta implikationen för att slutligen bevisa ekvivalens:

$\Leftarrow :$Om en vektor vj är en linjärkombination av de andra vektorerna gäller ur definitionen för en linjärkombination att:

$\sum _{\mathrm{i}=1,\mathrm{i}\ne \mathrm{j}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{i}}{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}$

Ekvationen ovan är ekvivalent med:

$-{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}+\sum _{\mathrm{i}=1,\mathrm{i}\ne \mathrm{j}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{i}}{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}=\mathbf{0}$

Men av ovanstående gäller att det existerar en icke-triviallösning då ${\mathrm{\lambda }}_j=-1$i vårt fall. Det vill säga något nollskilt lambda som uppfyller den givna ekvationen.

Alltså är den motsatta implikationen bevisad, och detta ger bevisad ekvivalens.

QED.

Tack för all hjälp!