1 svar
51 visningar
Albiki 1032
Postad: 13 sep 2017

Vid ett lokalt maximum har derivatan ett nollställe.

Följande problem kommer från en tenta i kursen Envariabelanalys som ges i första årskursen på civilingenjörsutbildningarna på Chalmers i Göteborg.
Påstående: Anta att funktionen f f är definierad på ett intervall och att a a är en inre punkt i detta intervall. Visa att om f f har ett lokalt maximum i punkten a a och derivatan f'(a) f^{'}(a) existerar så är f'(a)=0. f^{'}(a) = 0.
Bevis. Derivatan f'(a) f^{'}(a) existerar precis då vänstergränsvärdet
limxaf(x)-f(a)x-a \lim_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
existerar och är lika med högergränsvärdet
limxaf(x)-f(a)x-a. \lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Eftersom a a är en inre punkt till funktionens definitionsmängd så ligger x x också i definitionsmängden om x x är tillräckligt nära punkten a. a. Differenskvoten
f(x)-f(a)x-a \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
existerar alltså om x x är tillräckligt nära a. a.
Anta att x-a>0. x - a > 0. Eftersom funktionen f f har ett lokalt maximum i punkten a a så är
f(x)f(a), f(x) \leq f(a),
vilket medför att differenskvoten är negativ för alla x x som är tillräckligt nära a; a; den är en kvot av en negativt täljare och en positiv nämnare. Det betyder att högergränsvärdet är negativt
limxaf(x)-f(a)x-a0. \lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0.
Anta att x-a<0. x - a < 0. Det medför att differenskvoten är positiv (en kvot av två negativa tal), vilket betyder att vänstergränsvärdet är positivt
limxaf(x)-f(a)x-a0. \lim_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0.
Eftersom vänstergränsvärdet är lika med högergränsvärdet, och definieras som derivatan f'(a) f^{'}(a) , så gäller det att
f'(a)0f'(a), f^{'}(a) \leq 0 \leq f^{'}(a),
det vill säga 0=f'(a), 0 = f^{'}(a), vilket skulle bevisas.

Albiki 1032
Postad: 14 sep 2017
Albiki skrev :

Följande problem kommer från en tenta i kursen Envariabelanalys som ges i första årskursen på civilingenjörsutbildningarna på Chalmers i Göteborg.


Påstående: Anta att funktionen f f är definierad på ett intervall och att a a är en inre punkt i detta intervall. Visa att om f f har ett lokalt maximum i punkten a a och derivatan f'(a) f^{'}(a) existerar så är f'(a)=0. f^{'}(a) = 0.


Bevis. Derivatan f'(a) f^{'}(a) existerar precis då vänstergränsvärdet

    limxaf(x)-f(a)x-a \lim_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

existerar och är lika med högergränsvärdet

    limxaf(x)-f(a)x-a. \lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Eftersom a a är en inre punkt till funktionens definitionsmängd så ligger x x också i definitionsmängden om x x är tillräckligt nära punkten a. a. Differenskvoten

    f(x)-f(a)x-a \frac{f(x)-f(a)}{x-a}

existerar alltså om x x är tillräckligt nära a. a.

Anta att x-a>0. x - a > 0. Eftersom funktionen f f har ett lokalt maximum i punkten a a så är

    f(x)f(a), f(x) \leq f(a),

vilket medför att differenskvoten är negativ för alla x x som är tillräckligt nära a; a; den är en kvot av en negativt täljare och en positiv nämnare. Det betyder att högergränsvärdet är negativt

    limxaf(x)-f(a)x-a0. \lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0.

Anta att x-a<0. x - a < 0. Det medför att differenskvoten är positiv (en kvot av två negativa tal), vilket betyder att vänstergränsvärdet är positivt

    limxaf(x)-f(a)x-a0. \lim_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0.

Eftersom vänstergränsvärdet är lika med högergränsvärdet, och definieras som derivatan f'(a) f^{'}(a) , så gäller det att

    f'(a)0f'(a), f^{'}(a) \leq 0 \leq f^{'}(a),


det vill säga 0=f'(a), 0 = f^{'}(a), vilket skulle bevisas.

Svara Avbryt
Close