Vilka är koordinaterna för centrum samt längderna på stor- och lillaxel för ellipsen?

Vill du ha hjälp med frågan i rubriken eller frågan i uppgiften?

Hej! 
Slutet av uppgiften kom visst inte med i bilden. Det är frågan i rubriken som jag vill ha hjälp med. Och ifall jag tänkt fel vad gäller ellips-kurvan så tänkte jag att det är bra att se utgångspunkten i uppgiften. Jag ställer därför frågan om det är rimligt som tänkt, att värdet på a som jag antagit stämmer.

Här kommer den del av uppgiften som jag alltså behöver hjälp med i första hand:

Villkor 3 och 6 tillsammans ger inte $a^2>2/3$. Då skulle det stå $a < -\sqrt{2/3}$ i villkor 3.

Vill bara tipsa om den här tråden som kanske kan vara intressant också.

Jag gick in på desmos och la in ditt uttryck, och la till en "slider" för parametern a. Kul!

Ja, desmos var användbart!

$a=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ ger en parabel:

Ellipsen finns när $a>\sqrt{\frac{2}{3}}$, t.ex. a=1.

Genom att använda desmos har jag nu fått fram att kurvan är en hyperbel för

$a=-\sqrt{\frac{2}{3}},$

$0<a<\sqrt{\frac{2}{3}},$

$-\sqrt{\frac{2}{3}}<a<0$

och $a=\sqrt{\frac{2}{3}}.$

Kurvan är en dubbellinje för a = 0.

Kurvan är en ellips för $a<-\sqrt{\frac{2}{3}}$, t.ex. för $-1$,

och för $a>\sqrt{\frac{2}{3}}$, t.ex. för $1$.

Men nu har jag nog fel igen, för det ska bara vara en ellips i ETT AV FALLEN. Vilket?

Min uppgift, som jag skulle behöva hjälp med är nu att ange centrum samt längderna för storaxel och lillaxel för när kurvan är en ellips. Hur ska jag börja?

Då $|a|=\sqrt{\frac{2}{3}}$ är kurvan en parabel.

När det gäller att hitta centrum samt stor- lillaxel kan du använda den engelska wikipediaartikeln om Ellipsen, detta avsnitt https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#General_ellipse

Jag hjälper dig med $x_0$ för att visa vägen, vi identifierar

$A=3a^2-1$

$B=-2$

$C=A$

$D=4a$

$E=D$

$x_0=\frac{2CD-BE}{B^2-4AC}=\frac{2A\cdot 4a+2\cdot 4a}{4-4A^2}=\frac{2a(A+1)}{(1-A)(1+A)}=\frac{2a}{2-3a^2}$

Kan du bestämma $y_0$ samt semiaxlarna $a,b$?

Vill du vara hardcore och gå lite överkurs (de coola kidsen använder inte wikipedia) kan du istället genomföra en (ortogonal) transformation så att uttrycket blir lättare att kvadratkomplettera. Använd t.ex.

$x=\frac{u+v}{\sqrt{2}}$

$y=\frac{u-v}{\sqrt{2}}$

Genom att använda en ortogonal transformation försäkrar vi oss om att avbildningen inte ändrar inte några längder (det har vi nytta av när vi mäter axlarnas längd i det nya koordinatsystemet).  Det blir också enklare att hitta en invers till transformationsmatrisen (om vi skulle behöva det).

Nackdelen är att det smyger med en faktor $\sqrt{2}$ här och där.

Hej! Jag har försökt att läsa på mer om ellipser och tänkte nu återkomma till uppgiften. Jag är nu helt säker på att vi har en ellips i fall 5 och 6, när 

$$\begin{gathered} a<-\sqrt{\frac{2}{3}} \\ och \\ a>\sqrt{\frac{2}{3}} \end{gathered}$$

och att rutorna ska vara ifyllda som följer:

Nu vill jag ta reda på centrums koordinater samt längderna på storaxel och lillaxel med hjälp av texten om ellipser på Wikipedia som Jroth hänvisar till. 

Nu har jag beräknat även $y_0$ och jag fick den koordinaten till samma som $x_0$, dvs. $\frac{2a}{2-3a^2}$.

Jag fick fram det genom att utgå från formeln för $y_0$.

$y_0=\frac{2AE-BD}{B^2-4AC}=\frac{2·A·4a+2·4a}{4-4A^2}=\frac{4(2aA+2a)}{4(1^2-A^2)}.....=\frac{2a}{2-3a^2}.$

Då har jag alltså fått fram koordinaterna för ellipsens centrum och dessa är $(\frac{2a}{2-3a^2},\frac{2a}{2-3a^2}).$

Nu vill jag ta reda på storaxelns längd och lillaxelns längd.

Genom att läsa artikeln på Wikipedia förstår jag att jag ska ta fram halva storaxeln (semi-major axis a) och halva lillaxeln (semi-minor axis b), genom att använda följande formel:

$a,b=\frac{-\sqrt{2(A{E}^2+C{D}^2-BDE+(B^{2}4AC\left)F\right)\left(\right(A+C)\pm (\sqrt{{(A-C)}^2+B^2)}}}{B-4AC}.$

Nu behöver jag lite hjälp att komma igång.

Hur ska jag kunna få fram båda axlarna ur en formel?

Eftersom jag på detta sätt får fram halva axlarnas längd, så måste jag väl även multiplicera resultaten med 2 så småningom?

Tacksam för lite mer hjälp!

Nu har jag räknat ut storaxelns längd och lillaxelns längd genom hjälp från en kurskamrat. Så här gjorde jag:

Kanelbullen skrev:

 

Hur ska jag kunna få fram båda axlarna ur en formel?

Om du tittar noga ser du att det står $\pm$, du får alltså två värden.

I övrigt verkar du redan ha löst uppgiften och fått rätt svar. Bra!

Men det är en sak jag tycker att man måste tolka ganska välvilligt för att godkänna

Du kommer fram till att koordinaterna för ellipsen är (jag behåller en faktor 2 i nämnaren)

$\begin{pmatrix}s_0\\t_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{2\sqrt{2}a}{(3a^2-2)}\\0\end{pmatrix}$

Vi transformerar tillbaka till (x,y)-koordinaterna:

$\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial x}{\partial t}\\\frac{\partial y}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{2\sqrt{2}a}{3a^2-2}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2a}{2-3a^2}\\\frac{2a}{2-3a^2}\end{pmatrix}$