Vilka formler/satser åberopas i facit?

Hur långt hänger du med? Jag tror det är mer rita än formler. Om du deriverar ekvationen får du en normal, och om du deriverar en parametriserad kurva får du en tangent. 

Hur kommer de t.ex. fram till att normalen till nivåytan ges av $(2xy,x^2,4z)$. Jag ser ju att det är gradienten av $f(x,y,z)=x^2y+2z^2$ men hur vet man att detta ger normalen? Är det bara "standardkunskap" man ska ha?

Ja, det skulle jag säga.

Tänk på att $f(x,y,z)=C$ är en nivåyta. Överallt på ytan har funktionen det konstanta värdet $C$.

Riktningsderivatan av $f$ i riktningen $\hat{\tau}$ kan skrivas som skalärprodukten

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \tau }=\hat{\tau}\cdot \left(\nabla f\right)$

Riktningsderivatan är ett mått på hur snabbt $f$ förändras i riktningen $\hat{\tau}$. Skalärprodukten är störst då $\tau$ är parallell med vektorn $\nabla f$ och noll då dessa vektorer är vinkelräta. Härav följer att $\nabla f$ är riktad i den riktning $f$ växter snabbast, och att $\nabla f$ är vinkelrät mot nivåytan $f=C$.

Till en given nivåyta $f=C$ kan vi alltså lätt få en normal genom att bilda $\nabla f$.

I facit skriver de att linjens ekvation blir, men de menar att planets ekvation blir...

Jag hänger inte med här:

Härav följer att $\nabla f$ är riktad i den riktning $f$ växter snabbast, och att $\nabla f$ är vinkelrät mot nivåytan $f=C$.

Varför följer detta? Jag är med på att riktningsderivatan i riktningen $\hat{\tau}$ är störst då $\nabla f$ och $\hat{\tau}$ är parallella men jag förstår inte hur resten följer.

Riktningsderivatan utmed ytan ska vara ju vara 0 enligt definitionen.  När vi rör oss utmed ytan är ju $f=C$ (konstant, ändras inte). Lägg alltså $\tau$ utmed ytan och ställ upp ekvationen för riktningsderivatan:

$\tau\cdot (\nabla f)=0$ 

Vilken vinkel måste föreligga mellan de två vektorerna för att det alltid ska stämma?

De måste ju givetvis vara vinkelräta mot varandra. Vi tänker alltså att $\tau$ ska vara tangentiell mot ytan i punkten vi undersöker?

Ja. Rita gärna en bild, om det är svårt att rita en yta i 3d kan du rita en krökt kurva i 2d som får föreställa nivåytan och sedan använda en vektor $\tau$ som pekar i kurvtangentens riktning vid någon punkt på kurvan. 

Jag tror jag hänger med. Då vi rör oss längs nivåytan rör vi oss inom den punktmängd sådan att $f(x,y,z)=8$. Så om vi väljer en godtycklig punkt $(x,y,z)$ inom denna punktmängd och beräknar riktningsderivatan i en med kurvan tangentiell riktning $\hat{\tau}$ måste riktningsderivatan av $f$ vara noll (eftersom $f$ är konstant $8$ inom denna punktmängd). Vi beräknar alltså hur $f$ förändras inom punktmängden (inte alls!). Detta innebär att $\nabla f$ måste vara normal mot ytan.

Är detta rätt uppfattat?

Jag funderade på detta i termer av icke-standardformalism också och det verkar rimligt. Låt säga att vi väljer en med nivåytan tangentiell riktning $\hat{\tau}$, och låt vidare $\Delta x$ vara en positiv infinitesimal. Då kan vi ställa upp förändringskvoten:

$\displaystyle \frac{f\left(\mathbf{x}+\Delta x\hat{\tau}\right)-f\left(\mathbf{x}\right)}{\Delta x}$

Om vi följer riktningen $\hat\tau$ en infinitesimal sträcka $\Delta x$ kommer vi inte längre ligga inom punktmängden som defineras av nivåytan, MEN det verkar rimligt att om $f$ är trevlig nog i bemärkelsen att om vi rör oss infintesimalt långt bort från nivåytan kommer $f$ vara infintesimalt nära $8$, kommer även kvoten ovan vara infinitesimalt nära noll. Om vi däremot hade valt en riktning som är t.ex. normal mot nivåytan hade vi fått en nollskild standarddel och då hade vi fått en icke-infinitesimal förändring i $f$, så det är rimligt att $\hat\tau$ måste vara tangentiell för att detta ska funka.

Jag tror för övrigt jag lyckades resonera mig fram till svaret i (a). Med den nyvunna kunskapen i tråden har vi att normalen i varje punkt till nivåytan ges av $\nabla f = (2xy,x^2,4z)$. I punkten vi är intresserade av har vi då en normal: $\mathbf{n}= (0,4,8)$. 

Vi vet att punkten $(2,0,2)$ ligger i tangentplanet, och vi vet samtidigt att för alla vektorer med svans i $(2,0,2)$ som ligger i planet kommer dessa punktade med normalen ge noll. Planet beskrivs alltså av mängden av alla $(x,y,z)$ som uppfyller:

$\displaystyle \mathbf{n}\cdot\left(\left(x,y,z\right)-(2,0,2)\right)=0$

och detta går givetvis att förenkla till:

$\displaystyle y+2z-4 = 0$

Är det så här man har resonerat i facit också? Det verkar ju vara samma svar i alla fall.

I facit har de kanske använt en färdig formel för tangentplanet, men ditt resonemang är klockrent tycker jag, även om du på tenta kanske ska använda något mer formellt än "svans" och "punktad"  :-)

Den färdiga formeln är något i stil med

$f^\prime_x(x_p, y_p, z_p)(x-x_p)+f^\prime_y(x_p, y_p, z_p)(y-y_p)+f^\prime_z(x_p, y_p, z_p)(z-z_p)=0$ 

Och det är ju exakt vad du kom fram till.