Vilken punkt på enhetscirkeln

Du ska bara ange koordinaterna på enhetscirkeln som motsvaras av vinkeln tan v.

Alltså för vilken vinkel blir i uppgift a tangens för den vinkeln lika med 0,5 och så vidare.

Punkten ska ligga på enhetscirkeln. Exempel på punkter i första kvadranten på enhetscirkeln är (1, 0),   (0, 1), $(\sqrt{2}, \sqrt{2)}$.

Den första punkten i mitt exempel är vinkeln 0, den andra punkten är vinkeln 90 grader och den tredjepunkten är vinkeln 45 grader. Rita enhetscirkeln och kolla.

Du kan alltså först bestämma vinkeln enligt uppgiften genom att titta i tabell. Sedan bestämma var en radie från origo med den vinkeln träffar enhetscirkeln.

Tillexempel tan v = 1, då är vinkeln 45 grader. Koordinaterna på enhetscirkeln är $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

Arctan(0.5) blir 26.5 grader vilket sammanfaller i den första kvadranten. Är det svaret som sökes? Elr

Ja, vilken koordinat på enhetscirkeln motsvarar 26.5 grader?

Eftersom radien alltid är 1, motsvaras y-koordinaten av sin(26,5) och x-koordinaten av cos(26,5)

Janne491 skrev:

Punkten ska ligga på enhetscirkeln. Exempel på punkter i första kvadranten på enhetscirkeln är (1, 0),   (0, 1), $(\sqrt{2}, \sqrt{2)}$.

Den första punkten i mitt exempel är vinkeln 0, den andra punkten är vinkeln 90 grader och den tredjepunkten är vinkeln 45 grader. Rita enhetscirkeln och kolla.

Du kan alltså först bestämma vinkeln enligt uppgiften genom att titta i tabell. Sedan bestämma var en radie från origo med den vinkeln träffar enhetscirkeln.

Tillexempel tan v = 1, då är vinkeln 45 grader. Koordinaterna på enhetscirkeln är $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

Du menar nog att koordinaterna blir ($\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}$). :)

Dracaena skrev:

Janne491 skrev:

Punkten ska ligga på enhetscirkeln. Exempel på punkter i första kvadranten på enhetscirkeln är (1, 0),   (0, 1), $(\sqrt{2}, \sqrt{2)}$.

Den första punkten i mitt exempel är vinkeln 0, den andra punkten är vinkeln 90 grader och den tredjepunkten är vinkeln 45 grader. Rita enhetscirkeln och kolla.

Du kan alltså först bestämma vinkeln enligt uppgiften genom att titta i tabell. Sedan bestämma var en radie från origo med den vinkeln träffar enhetscirkeln.

Tillexempel tan v = 1, då är vinkeln 45 grader. Koordinaterna på enhetscirkeln är $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

Du menar nog att koordinaterna blir ($\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}$). :)

Ja så ska det vara. Eller $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Tack Dracaena

Janne491 skrev:

Ja, vilken koordinat på enhetscirkeln motsvarar 26.5 grader?

Eftersom radien alltid är 1, motsvaras y-koordinaten av sin(26,5) och x-koordinaten av cos(26,5)

Hur kan man ta reda på y och x koordinaten? Kan du förklara stegvist hur du tänkte 

Här är ett exempel:

(Fast det är inte samma vinkel som i din uppgift)
sin a = y-koordinaten / 1 enligt definitionen på sinus i en rätvinklig triangel
cos a = x-koordinaten/1 enligt definitionen på cosinus i en rätvinklig triangel

Ok nu blev det tydligare. Men hur gör man om man inte har tillgång till digitala verktyg?

Nu förstår jag inte. Om du och jag hade suttit i samma rum hade inga digitala verktyg behövts!

Ja men hur vet du att vinkel som du ritat är exakt 29 grader?

Du har nog hakat upp dig på att det måste vara exakt, det måste det inte. Du behöver inte rita vinkeln exakt. men logiken är följande. en punkt P på enhetscirkeln, vilken som helst har koordinaterna $(\cos \theta , \sin \theta)$. I detta fallet har vi att $\tan \theta = \frac{1}{2} \iff \theta = \arctan \frac{1}{2}$. detta ger att koordinaten för P är $(\cos (\arctan \frac{1}{2}), \sin (\arctan \frac{1}{2}))$.

helt ärligt känns inte riktigt att jag förstår hur man ska tänka i a uppgiften..:(

Vilken punkt är du inte med på?

• En punkt P, vilken som helst i enhetscirkeln kan vi beskriva med koordinaterna $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• Ekvationen $\tan \theta = \frac{1}{2}$ ger att vinkeln är $\arctan \frac{1}{2} \approx 26.5$ grader
• Punkten blir därför $(\cos \theta, \sin \theta)$ men vi har redan beräknat vinkeln till $\approx 26.5$ grader.
• Koordinaten som beskriver $\tan \theta = \frac{1}{2}$blir därför $(\cos 26.5, \sin 26.5)$.

Dessa steg 

•Punkten blir därför (cosθ,sinθ)(cosθ,sinθ) men vi har redan beräknat vinkeln till ≈26.5≈26.5 grader.

•Koordinaten som beskriver tanθ=12tanθ=12blir därför (cos26.5,sin26.5)(cos26.5,sin26.5).

Är du med på att vinkeln punkt som helst i enhetscirkeln kan beskrivas som (cosv,sinv)? $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$ så det vi har fått i uppgiften är kvoten mellan sin och cos. Vi kan använda detta för att hitta vinkeln. När vi har vinkeln så har vi ju $\theta$, då kan vi bara stoppa in vinkeln och så får vi våra koordinater.

Ja men hur ska vi använda den kunskapen för att svara på frågan tan v=0.5? (Vilken punkt på enhetscirkeln  i första kvadrant motsvarar).?

Vinkeln är samma, la du märke till det? Om vinkeln är den samma för alla 3 trigonometriska funktioner så behöver vi bara lösa ut vinkeln i ekvationen vi blev givna. När vi gjort det så stoppar vi bara in vinkeln. Tan(v)=1/2 är ju en punkt på enhetscirkeln. Det vi gjort är tagit kvoten mellan koordinaterna, det är ju definitionen av tangens. Och som vi nämnt redan så kan vi beskriva vilken punkt som helst på enhetscirkeln som $(\cos v, \sin v)$.

Sin(v)/cos(v)=0.5

Okej det förstår jag men inget mer än så

Är du med på att tanv=sinv/cosv? Är du med på att detta då är samma sak som tanv=y/x eftersom y=sinv och x=cosv? Vi vill hitta koordinaten(x,y) för tanv.

Ja det är jag med på. Men vad är y och x i detta fall?

x är x-koordinanten och y är y-koordinanten. Vi kanske ska ta ett exempel. låt oss säga att vi tar punkten $(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$. detta kan vi också skriva som $(\cos (45),\sin (45))$. $\tan v$ av denna koordinaten är $\dfrac{\sin v}{\cos v}=1$, detta ger då att $\tan v = 1$. Ser det bekant ut till hur vi löste a) uppgiften? Ser du nu hur det fungerar eller är något fortfarande oklart? :) 

Notera att v=45 i exemplet ovan.

Men i a uppgiften så har vi inte fått angivet några punkter